Aloha :)
Ich würde hier nicht die vollständige Induktion als Beweismethode wählen, sondern die AGM-Ungleichung verwenden. Sie besagt, dass das geometrische Mittel von positiven Zahlen immer kleiner gleich dem arithmetischen Mittel ist:$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n}\le\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}$$Wir nehmen beide Seiten "hoch \(n\)" und finden:$$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n\le\left(\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\right)^n$$Damit ist die hier gegebene Ungleichung (für \(n\ge2\)) sofort klar:$$\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}=\underbrace{\binom{n}{0}}_{=1}\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}\cdot\underbrace{\binom{n}{n}}_{=1}\le\left(\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}}{n-1}\right)^{n-1}=\left(\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}-\binom{n}{0}-\binom{n}{n}}{n-1}\right)^{n-1}$$$$\phantom{\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}}=\left(\frac{\red{\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k}\green{-1-1}}{n-1}\right)^{n-1}=\left(\frac{\red{(1+1)^{n}}\green{-2}}{n-1}\right)^{n-1}=\left(\frac{2^n-2}{n-1}\right)^{n-1}$$
Die AGM-Ungleichung zeige ich hier nicht, dafür gibt es sehr viele gute Beweise im Netz:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel
