Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist,

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Seien \( n, m \in \mathbb{N} \) und \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) eine nichtleere Menge. Zudem seien \( \left(a_{i}\right)_{i=1, \ldots, m} \) eine endliche Folge reeller Zahlen und \( \left(f_{i}\right)_{i=1, \ldots, m} \) eine endliche Folge von Funktionen \( f_{i}: D \rightarrow \mathbb{R} \). Die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) sei definiert durch
\( f(x)=\left(\begin{array}{c} f_{1}(x) \\ \vdots \\ f_{m}(x) \end{array}\right) . \)

i) Zeigen Sie, dass \( f \) genau dann stetig ist, wenn für alle \( i=1, \ldots, m \) die Funktionen \( f_{i} \) stetig sind.

ii) Beweisen Sie, dass die Funktion
\( g: D \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum \limits_{i=1}^{m} a_{i} f_{i}(x) \)
stetig ist, wenn \( f \) stetig ist.

Answer 1

i) "⇐" Sei \(f_i\) stetig für alle \(i \in \{1,\dots,m\}\) und \(x_0\in D\) und \(\varepsilon > 0\).

Sei \(\delta > 0\) so dass \(\left|f_i(x)-f_i(x_0)\right| < \varepsilon\) für alle \(i \in \{1,\dots,m\}\) und alle \(x \in B_\delta(x_0)\) ist.

Dann ist \(\left|f(x)-f(x_0)\right| = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left|f_i(x)-f_i(x_0)\right|^2}\).

ii) Verwende dass laut i) die \(f_i\) stetig sind wenn \(f\) stetig ist.