Beweisen von einer Gruppe mit 6 Elementen

Question

Aufgabe:

Sei M = {1, 2, 3}. Beweisen Sie, dass Aut(M) eine nicht-abelsche Gruppe mit 6 Elementen ist.

Aut(M) wird in der Aufgabe zuvor wie folgt definiert:

Aut(M) := {f : M → M : f bijektiv}

Answer 1

Seien folgende Funktionen gegeben:

f₁₂: 1 ↦ 2 und 2 ↦ 1

f₁₃: 1↦ 3 und 3 ↦ 1

f₁₂ ο f₁₃ (1) = f₁₂ (3) = 3

f₁₃ ο f₁₂ (1) = f₁₃ (2) = 2

Das beides ist nicht das selbe, denn 2≠3. Damit ist die Gruppe nicht abelsch

Answer 2

Schreibe unter jedes Element von M sein Bild bei jeder

     möglichen bijektiven Abbildung

              x     1    2    3
          f1(x)     1    2    3
             f2(x)    1    3    2
           f3(x)    2    1    3
           f4(x)    2    3    1
           f5(x)    3    1    2
            f6(x)  3    2    1

Das sind alle Möglichkeiten.

Da die Verkettung von bijektiven Abbildungen

wieder eine solche ist, ist die (Aut(M),o) abgeschlossen

und Verkettung ist immer assoziativ.

Neutrales El ist f1.

Zu jedem gibt es ein inverses
    zu f2 ist das f2 selber und

    zu f3 ist es f4   etc.