Zeigen, dass die Menge aller Permutationen von n Elementen eine Gruppe ist

Question

"Zeigen Sie, dass die Menge aller Permutationen von n Elementen S_n mit der Verknupfung * eine Gruppe ist."

Mir ist klar, dass das neutrale Element die Permutation ist, die nichts verändert (die Identität)

π(i) = I

und, dass das inverse Element die Permutation ist die alles wieder auf den alten Platz zurückbringt:
π(a) = b, dann π^-1(b) = a

Unklar ist mir aber leider noch, wie ich die Assoziativität am besten beweisen soll

Bitte um Hilfe und

Answer 1

Permutationen sind Abbildungen.  Für die  Verkettung von Abbildungen gilt immer

das Assoziativgesetz.   Denn wenn f,g,h Abbildungen sind ( mit geeigneten

Def. und  Zielbereichen ) dann gilt für jedes x ( aus der 1. Def.menge)nach Def. der Verkettung:(fog)oh(x)  =  (fog)(h(x)) =  f(  g(h(x))  )  = f (   (goh)(x) )   =  fo(goh) (x)

und wenn zwei Abbildungen mit gleichen Def. und Zielbereichen )

 für alle x aus ID gleiche Werte haben, dann sind sie gleich :