Die Gruppe aller Permutationen...Richtig oder falsch?

Question

Sei n ≥ 4, sei S_n die Gruppe aller Permutationen von {1,2,...,n} (mit ° als Verknüpfung) und sei r ∈ S_n.Richtig oder falsch:(i) r ist eine Transposition ⇒ r hat die Ordnung 2 in S_n.(ii) r hat die Ordnung 2 in S_n ⇒ r ist Transposition.(iii) Die Menge aller Transpositionen aus S_n erzeugt die ganze Gruppe S_n.(iv) Das Inverse einer Transposition ist sie selbst.

Answer 1

Ohne Gewähr:

Sei n ≥ 4, sei S_n die Gruppe aller Permutationen von {1,2,...,n} (mit ° als Verknüpfung) und sei r ∈ S_n.Richtig oder falsch:

(i) r ist eine Transposition ⇒ r hat die Ordnung 2 in S_n. richtig. Wenn man dieselbe Transposition 2 mal macht, sind wieder alle Elemente in der ursprünglichen Position.

(ii) r hat die Ordnung 2 in S_n ⇒ r ist Transposition. falsch.

Da mindestens 4 Elemente vorhanden sind, ist es möglich für Ordnung 2, dass 1mit 2 und gleichzeitig 3 mit 4 vertauscht (transponiert) werden. 

(iii) Die Menge aller Transpositionen aus S_n erzeugt die ganze Gruppe S_n. richtig. Man kann durch Verknüpfen von Transpositionen auch z.B. längere Zyklen erzeugen. 

(iv) Das Inverse einer Transposition ist sie selbst. richtig. Das ist im Prinzip dasselbe wie (i)