Aloha :)
Wähle ein \(x\) beliebig, aber fest. Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist, können wir \(e^x\) aufrunden zu \(n_0\coloneqq\lceil e^x\rceil\in\mathbb N\). Wir ersetzen im Nenner \(e^x\) durch dieses \(n_0\), wodurch der Nenner vergrößert wird (oder gleich bleibt) und der Bruch verkleinert wird (oder gleich bleibt).$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{e^x+k}\ge\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{n_0+k}=\sum\limits_{k=n_0}^\infty\frac1k\to\infty$$Da die harmonische Reihe divergiert, auch wenn man vorne endlich viele Werte wegnimmt, divergiert die untersuchte Reihe für alle \(x\in\mathbb R\).
