Begrenzte Fläche in kartesischen und Zylinderkoordinaten im Normalbereich darstellen?

Question

Aufgabe:

Der Körper \(K ⊆ \mathbb R^3\) sei durch die Flächen \(z= \sqrt{x^2+y^2} \) und \(z = \sqrt{1-x^2-y^2}\) begrenzt. Stellen Sie \(K\) als Normalbereich dar, und zwar in

(a) kartesischen Koordinaten

(b) Zylinderkoordinaten

Problem/Ansatz:

Also der "Körper" hier DunkelblauIch habe extreme Schwierigkeiten mit der Aufgabe. Kann mir jemand vielleicht seine Herangehensweise erläutern? Das wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Hallo Karl,

Die beiden Flächen, die die Koordinate \(z\) nach oben und unten begrenzen sind doch bereits gegeben. Also reicht bei den kartesichen Koordinaten$$K = \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: \space \sqrt{x^2+y^2} \le z \le \sqrt{1-x^2-y^2}\right\}$$Für die Polarkoordinate seien die Winkel so definiert wie hier. Dann ist$$K = \left\{(r,\theta,\varphi) \in \mathbb R^3:\space r \le 1 \land \theta <= \frac{\pi}{4}\right\}$$\(\varphi\) ist beliebig und \(r\) und \(\theta\) sind nur positiv definiert.

Gruß Werner

Comments

vielen, vielen Dank

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@Werner

ich versuche gerade parametrische Oberflächen darzustellen, dabei hab ich dieses Beispiel nachgebaut und auch größere/kleinere Löcher in die Kugel gebohrt.

Könnte es sein, daß Du unterschiedliche Bereiche in den verschiedenen KO beschreibst: Die Kartesischen KO bewegen sich in dem "Loch, während die PolarKO in dem "Ring" liegen?

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... während die PolarKO in dem "Ring" liegen?

ich denke, das entscheidet die Definition von \(\theta\). ich habe hier die Definition benutzt wie sie im Wikipedia-Artikel beschrieben ist. \(\theta=0\) entspricht hier der (positivem) Z-Achse und nicht etwa der XY-Ebene.

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Nein, die PolarKO sind ok, aber für die kartesischenKO √(x^2+y^2)<=z liegt der Bereich doch „innerhalb“ des Kegels?

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... liegt der Bereich doch „innerhalb“ des Kegels?

Ja - genau. Und das ist genauso bei den Polarkoordinaten der Fall. Im Schnitt sieht das Gebiet so aus:

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Gut, das wir uns jetzt einig sind :-).

ich hätte jetzt die Kugel als Halbkreis mit geschnitten und den begrenzten Bereich als den Zwischenraum angesehen - die geschlossen Grenzen sind allerdings viel "schöner"...