Question

Zeige, dass die Menge aller komplexen Zahlen mit absolutem Betrag 1 eine Untergruppe U von
(C×, ·) bildet.
(b) Bestimme die Verknüpfungstafel für die von i ∈ C aufgespannte zyklische Untergruppe hii ⊂ U.
(c) Gilt eine zu (a) analoge Aussage auch für (R×, ·)?

a) habe ich gezeigt

Jedoch weiß ich bei b und c nicht weiter. Bei b) weiß ich, dass ⟨i⟩:={i^n| n∈ℤ), aber wie kann ich das darstellen in der Verknüpfungstafel?

Bei c) habe ich die Vermutung, dass man einen Art Zusammenhang zwischen den Einheitskreis der komplexen Zahlen und der reelen Zahlen erkennen sollte. Bin mir aber nicht sicher

Comments

(b)  Es ist \(\mathrm i^0=1,\quad\mathrm i^1=\mathrm i,\quad\mathrm i^2=-1,\quad\mathrm i^3=-\mathrm i\). Alle höheren Potenzen wiederholen sich periodisch.
Die Verknüpfungstafel könnte etwa so aussehen:

\(\small\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline\Large\cdot\vphantom{\Large|}&1&\mathrm i&-1&-\mathrm i\\[2px]\hline\hline1\vphantom{\Large|}&1&\mathrm i&-1&-\mathrm i\\[2px]\hline\mathrm i\vphantom{\Large|}&\mathrm i&-1&-\mathrm i&1\\[2px]\hline-1\vphantom{\Large|}&-1&-\mathrm i&1&\mathrm i\\[2px]\hline-\mathrm i\vphantom{\Large|}&-\mathrm i&1&\mathrm i&-1\\[2px]\hline\end{array}\)

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Sind das alle komplexen Zahlen mit dem absoluten Betrag 1?

Das sieht für mich noch etwas dürftig aus.

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Bitte Aufgabe sorgfältig durchlesen.

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Was ist C×?

Was ist (a)?

Was ist R×?

Was ist a)?

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a) Zeige, dass die Menge aller komplexen Zahlen mit absolutem Betrag 1 eine Untergruppe U von
(C×, ·) bildet.

Mit dem (C×, ·) ist die Gruppe der komplexen Zahlen ohne der Null gemeint mit der Rechenoperation "*"

Und der Punkt c) Gilt eine zu (a) analoge Aussage auch für (R×, ·)?

Mit (R×, ·) ist die Gruppe der reelen Zahlen ohne Null mit der Rechenoperation "*" gemeint