Gleichungen mit Bin-koeffizienten

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie \( \left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} \) und \( 0<k \leq n \).

(b) Zeigen Sie \( \sum \limits_{k=0}^{n} 2^{4}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=4^{2} 2^{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Problem/Ansatz:

Ich brauche die Lösungswege.

Danke im Voraus :)

Answer 1

a) Schreibe die Binomialkoeffizienten aus (\( \left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right) \) ist z.B. \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)) und mache die Brüche vor dem Addieren gleichnamig.

b) 2^4 und 4^2 sollen nur der Verwirrung dienen. Beide Potenzen sind 16. Was bleibt ist die Behauptung \( \sum \limits_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)= 2^{n} \) und kann dadurch bewiesen werden, dass man im binomischen Satz für (a+b)^n konkret a und b mit dem Wert 1 belegt.

Comments

Hi.

Zu der a) das habe ich schon gemacht, aber ich komme da nicht weiter :/

Zu der b) danke ich versuche es mal :)

Answer 2

$$\begin{pmatrix} n\\k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1\\k \end{pmatrix} \newline \frac{n!}{(k-1)! \cdot (n - (k-1))!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n + 1 - k)!} \newline \frac{n!}{(k-1)! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} \newline \frac{n! \cdot k}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} + \frac{n! \cdot (n - k + 1)}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline \frac{n! \cdot k + n! \cdot (n - k + 1)}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline \frac{n! \cdot (k + (n - k + 1))}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline \frac{n! \cdot (k + n - k + 1)}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline \frac{n! \cdot (n + 1)}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} = \frac{(n+1)!}{k! \cdot (n - k)! \cdot (n - k + 1)} \newline$$

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Vielen Dank :)