Aloha :)
Die Binomialreihe des Ausdrucks können wir in Anlehnung an den binomialen Lehrsatz hinschreiben. Allerdings tritt darin nicht der gewohnte Binomialkoeffizient auf, sondern eine Erweiterung:$$\sqrt[5]{(1-x)^3}=(1+(-x))^{\frac{3}{5}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\binom{3/5}{k}(-x)^k\;;\;\binom{\alpha}{k}\coloneqq\frac{a(a-1)\cdots(a-k+1)}{k!}$$
Für die ersten 4 Glieder der Reihe benötigen wir die entsprechenden Binomialkoeffizienten:$$\binom{\frac{3}{5}}{0}=1$$$$\binom{\frac{3}{5}}{1}=\frac{\frac{3}{5}}{1!}=\frac{\frac{3}{5}}{1}=\frac{3}{5}$$$$\binom{\frac{3}{5}}{2}=\frac{\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)}{2!}=\frac{-\frac{6}{25}}{2}=-\frac{3}{25}$$$$\binom{\frac{3}{5}}{3}=\frac{\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot\left(-\frac{7}{5}\right)}{3!}=\frac{\frac{42}{125}}{6}=\frac{7}{125}$$
Damit haben wir die folgende Reihendarstellung gefunden:
$$\sqrt[5]{(1-x)^3}=1-\frac{3}{5}x-\frac{3}{25}x^2-\frac{7}{125}x^3-O(x^4)$$
