Wie lautet die Matrixdarstellung von A bezüglich der Basis S:= (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)?

Question

Aufgabe:

Sei der A: R³→R³ ein linearer Operator, der durch A:=
 1   2  1
 3 −1  0
 0   1  2

bestimmt ist.

Wie lautet die Matrixdarstellung von A bezüglich der Basis S:= (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)?

Problem/Ansatz: Liege ich richtig mit meinem Ansatz?

Muss ich da nicht einfach für Basis S (1,1,1):

(1*1+1*2+1*1) = 4

(3*1+(-1*1)+0)= 2

(0+1*1+2*1)= 3

Also ist die erste Spalte der Matrix (4 2 3)

Also am Ende müsste dann die vollständige Matrix so aussehen:

4   3  1

2   2  3

3   1  0

Ist das richtig so?

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix \(A={_E}A_E\) erwartet Eingangsgrößen bezüglich der Standardbases \(E\) und liefert Ausgangsgrößen bezüglich der Standardbasis \(E\). Wir sollen die Basis \(E\) durch die Basis \(S\) ersetzen. Dazu müssen wir die Eingangsgrößen in \(A\) zuvor von \(S\) in \(E\) transformieren und die Ausgangsgrößen von \(A\) dann von \(E\) in \(S\) transformieren:$${_S}A_S={_S}\operatorname{id}_E\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\operatorname{id}_S$$$${_S}A_S=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\3 & -1 & 0\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\-1 & 1 & 3\\2 & 1 & -2\end{pmatrix}$$