Funktionswert mit Hilfe der binomischen Formel und Eulerschen Formeln vereinfachen

Question

Hallo! Ich soll für x∈ℝ folgendes berechnen bzw. vereinfachen:

Aufgabe:

f(x):=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{n!*sin(k*x)}{k!(n-k)!}} \)

Hinweis: Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz und die Eulerschen Formeln.

Problem/Ansatz:

So weit bin ich bis jetzt:

f(x):=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{n!*sin(k*x)}{k!(n-k)!}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}*\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}} \)

= \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}*\frac{-2i*(e^{ikx}-e^{-ikx})}{4}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}*\frac{-i*(e^{ikx}-e^{-ikx})}{2}} \)

Nur ist mir hier nicht ganz klar, wie ich da jetzt weiter komme, um die binomische Formel anwenden zu können...

Könnte mir wer weiterhelfen?

Comments

Benutze \(e^{ikx}=(e^{ix})^k\)

Answer 1

\(\begin{aligned} & \sum\limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{-i\cdot(e^{ikx}-e^{-ikx})}{2}\\ = & -\frac{i}{2}\sum\limits _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot\left(e^{ikx}-e^{-ikx}\right)\\ = & -\frac{i}{2}\cdot\left(\sum\limits _{k=0}^{n}{n \choose k}e^{ikx}-\sum\limits _{k=0}^{n}{n \choose k}e^{-ikx}\right)\\ = & -\frac{i}{2}\cdot\left(\sum\limits _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(e^{ix}\right)^{k}1^{n-k}-\sum\limits _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(e^{-ix}\right)^{k}1^{n-k}\right) \end{aligned}\)

Answer 2

Und dann noch vereinfachen

$$ f(x) = \frac{1}{2i} \left[   \left( e^{ix} +1 \right)^n - \left( e^{-ix} + 1 \right)^n \right]  $$