\(\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}\right)=(-1)^{n} \cdot\left(\begin{array}{c} x-1 \\ n \end{array}\right) \)
Mit vollst. Induktion. n=0 dürfte klar sein.
Wenn man ein n hat mit \(\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}\right)=(-1)^{n} \cdot\left(\begin{array}{c} x-1 \\ n \end{array}\right) \)
Dann folgt
\(\sum \limits_{k=0}^{n+1}(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}\right)=\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}\right) + (-1)^{n+1} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ n+1 \end{array}\right) \)
Mit der Ind. annahme also
\( = (-1)^{n} \cdot\left(\begin{array}{l} x-1 \\ n \end{array}\right)+ (-1)^{n+1} \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ n+1 \end{array}\right) \)
Ausklammern
\( = (-1)^{n+1} \cdot ( -\left(\begin{array}{l} x-1 \\ n \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{l} x \\ n+1 \end{array}\right)) \)
Und aus der Formel für die Binomialkoeffizienten
\( \left(\begin{array}{l} x \\ n+1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{l} x-1 \\ n \end{array}\right) +\left(\begin{array}{l} x-1 \\ n+1 \end{array}\right) \)
folgt durch Einsetzen das gewünschte Ergebnis.
