Welche Voraussetzungen MÜSSEN und welche KÖNNEN bei Äquivalenzrelationen erfüllt sein?
Sagen wir, wir haben die Menge M = {1, 2, 3, 4} und nun möchte ich eine Äquivalenzrelation zu dieser Menge angeben.
Dafür müssen die Relationen, welche ich angebe, ja reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Nun habe ich folgende Fragen bezüglich meines Verständnisses:
1. Für die reflexive Eigenschaft müssen auch wirklich alle Elemente aus M in Relation mit sich selbst stehen, oder?
Also zur Menge M wäre ({1, 1}, {2, 2}, {4, 4}) nicht reflexiv, weil das {3, 3} fehlt und alle Elemente in Relation mit sich selbst stehen MÜSSEN. Man darf kein Element einfach auslassen.
2. Für die symmetrische Eigenschaft muss theoretisch kein Element die Voraussetzung x R y ⇒ y R x erfüllen, solange nicht der Anfang gegeben ist, richtig?
Sprich ({1, 1}) wäre theoretisch eine symmetrische Relation zur Menge M. Sobald man aber beispielsweise das Element {1, 4} dazu nimmt, muss man auch {4, 1} hinzufügen. Man ist aber nicht wie bei der reflexiven Eigenschaft dazu gezwungen auch wirklich alle Elemente irgendwie unterzubringen, sondern muss das y R x nur hinzufügen, falls das x R y schon gegeben ist.
3. Die transitive Eigenschaft verhält sich soweit ich verstanden habe ähnlich wie die symmetrische Eigenschaft, aber hier gibt es ja drei Teile, weshalb es nochmal etwas komplizierter wird. x R y ∧ y R z ⇒ z R x.
Also transitive Relationen zur Menge M wären zum Beispiel: ({1,1}, {2,2}) oder auch sowas wie ({1, 2}, {3, 4}).
Erst wenn wir zwei Objekte wie {2, 3} UND {3, 4} hätten, wären wir dazu gezwungen auch {4, 2} hinzuzufügen, damit es transitiv bleibt. Richtig?
Habe ich das alles korrekt verstanden?
