Für n=0 gilt \(\sum \limits_{k=0}^{0} \mathrm{i}^{k} k= i^0 \cdot 0 = 0 =0 \cdot (1-i) \)
Für n=1 gilt \(\sum \limits_{k=0}^{2 } \mathrm{i}^{k} k= i^0 \cdot 0 + i^1 \cdot 1 + i^2 \cdot 2 = i-2 =-2+i=-(1+1)+i \)
Also klappt der Ind.anfang für die 1. gerade und die erste ungerade Zahl.
Sei nun \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und n gerade und die Formel gilt für n , dann gilt
\(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= \sum \limits_{k=0}^{2n} \mathrm{i}^{k} k + \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1) + + \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)
wegen der Ind. annahme also
\(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= n (1- \mathrm{i}) + \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1) + \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)
\(= n (1- \mathrm{i}) + \mathrm{i} (2n+1) + (-1)(2n+2) = n - n \mathrm{i} + 2n\mathrm{i} +\mathrm{i} -2n -2\)
\( = + n\mathrm{i} +\mathrm{i} -n -2 = -(n+1+1) + (n+1)\mathrm{i} \)
Und das ist das, was die Formel für n+1 (wegen n gerade ist das ja ungerade) hergibt.
Analog zeige, dass für ungerades n auch die Formel für n+1 (Das ist dann ja gerade.) stimmt.
