Zeigen Sie, dass diese Relation eine partielle Ordnung ist und Totalordnung

Question

Aufgabe:

Seien M eine nichtleere Menge und die Relation ≼ auf der Potenzmenge P(M) von M durch
A ≼ B ⇔ A ⊆ B,
definiert. Zeigen Sie, dass diese Relation eine partielle Ordnung ist. Wann ist sie eine
Totalordnung?
[Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M.]

Problem/Ansatz:

Ich kenne nur die Defintionen von reflexiv , antisymmetrisch und transitiv .

Aber ich weiß leider nicht wie ich das im Allgemeinen zeigen soll .

wie zeigt man sowas ?

Dankeschön

Answer 1

Reflexivität. Begründe warum

        \(A\subseteq A\)

für jedes \(A\in\mathcal{P}(M)\) ist.

Antisymmetrie. Begründe warum

        \(A\subseteq B \wedge B\subseteq A \implies A=B\)

für alle \(A,B\in \mathcal{P}(M)\) gilt.

Transitivität. Begründe warum

  \(A\subseteq B \wedge B\subseteq C \implies A\subseteq C\)

für alle \(A,B,C\in \mathcal{P}(M)\) gilt.

Die Begründungen verwenden direkt die dir vorliegende Definition von \(\subseteq\).

Comments

ist das richtig ?

A ∈  P (M)

wenn A <= A  =>  A ⊆ A also reflexiv

A, B ∈ P (M)

wenn A <= B  und B <=A  =>  A ⊆ B und B ⊆ A => A =B also antisymmetrisch

A,B,C ∈ P(M)

wenn A <= B und B <= C =>  A ⊆ B und B ⊆ C => A ⊆ C  also transitiv

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Ich sehe nicht, dass du an irgendeiner Stelle auf die Definition von \(\subseteq\) zurückgegriffen hast.

wenn A <= A =>  A ⊆ A also

Ich kenne "wenn ... dann", aber nicht "wenn ... also". Was glaubst du, was \(\implies\) bedeutet?

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oh .. ok dann habe ich wohl nichts verstanden.

wie genau soll man mit der Definition der Beimenge begründen ?

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können sie mir zeigen wie ich das zum Beispiel bei der Antisymmetrie in der Aufgabe zeige ?

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Hallo ist das in Ordnung ?

A ∈ P(M)

A ⊆ M

dann ist auch A ⊆ A

somit reflexiv

A, B ∈ P(M)

A, B ⊆ M

A ⊆ B und B ⊆ A  =>  A = B

somit antisymmetrisch

A, B, C ∈ P(M)

A ,B , C ⊆ M

A ⊆ B und B ⊆ C => A ⊆ C

somit transitiv