Zeigen Sie, dass B = C genau dann gilt, wenn B ∩ C = B ∪ C

Question

Seien A, B, C und D Mengen.
(a) Geben Sie die Definition der Mengen A ∪ B, A ∩ B und A \ B an.
(b) Beweisen Sie, dass C ∩ (C ∪ D) = C gilt.
(c) Zeigen Sie, dass B = C genau dann gilt, wenn B ∩ C = B ∪ C

Answer 1

a) findest du in deinem Skript.

(b) Beweisen Sie, dass C ∩ (C ∪ D) = C gilt.

Sei x∈C ∩ (C ∪ D)

<=>  x∈C   ∧  x∈C ∪ D

<=>  x∈C ∧ ( x∈C ∨  x∈ D)  Absorptionsgesetz !

<=>    x∈C

Answer 2

Zu (c):

\(B=C\Rightarrow B\cap C=B\cup C\) ist trivial.

Nun die Umkehrung:

sei \(B\cap C=B\cup C\), dann gilt

\(B\subseteq B\cup C=B\cap C\subseteq C\),

analog \(C\subseteq B\), also \(B=C\),