Grenzwert von einer Folge

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man den Grenzwert von der Folge: a_n=6*6^-3n-3*(\( \frac{6*(n+1)+6}{n+1} \))^3*(n+1)

b_x=\( \sqrt{x+4} \)*(\( \sqrt{x+9} \)-\( \sqrt{x+5} \))

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=6\cdot\pink{6^{-3n-3}}\left(\frac{\green6(n+1)+\green6}{n+1}\right)^{3(n+1)}=\frac{6}{\pink{6^{3n+3}}}\left(\green6\cdot\blue{\frac{(n+1)+1}{n+1}}\right)^{3(n+1)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{6}{6^{3n+3}}\cdot6^{3(n+1)}\cdot\left(\blue{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{3(n+1)}=\frac{6}{6^{3n+3}}\cdot6^{3n+3}\cdot\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)}\right]^3$$$$\phantom{a_n}=6\cdot\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)}\right]^3\stackrel{(n\to\infty)}{\to}6\cdot e^3$$

$$b_x=\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+9}-\sqrt{x+5}\right)=\sqrt{x+4}\cdot\frac{(\overbrace{\sqrt{x+9}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b})(\pink{\overbrace{\sqrt{x+9}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b})}}{\pink{(\sqrt{x+9}+\sqrt{x+5})}}$$$$\phantom{b_x}=\sqrt{x+4}\cdot\frac{\overbrace{(\sqrt{x+9})^2}^{=a^2}-\overbrace{(\sqrt{x+5})^2}^{=b^2}}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+5}}=\sqrt{x+4}\cdot\frac{(x+9)-(x+5)}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+5}}$$$$\phantom{b_x}=\frac{\sqrt{x+4}\cdot4}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x+5}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{x+9}}{\sqrt{x+4}}+\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x+4}}}=\frac{4}{\sqrt{\frac{x+4+5}{x+4}}+\sqrt{\frac{x+4+1}{x+4}}}$$$$\phantom{b_x}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{x+4}}+\sqrt{1+\frac{1}{x+4}}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{4}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac42=2$$

Answer 2

Hallo

1.aus der Klammer 6^(3n+1) ausklammern, dann durch die n+1 teilen , dann den GW bilden,

2. mit der Summe der Wurzeln erweitern, (das immer bei der Differenz von Wurzeln um die 3. bin. Formel auszunutzen) dann Zähler und Nenner durch √x teilen, dann siehst du den GW.

Gruß lul