Aufgabe:
Gegeben ist die zweistellige Funktion
\( \square: \mathbb{N}_{+} \times \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}_{+}, \quad(e, d) \mapsto e \cdot d+1 \)
auf den natürlichen Zahlen, die Sie als Operator in Infix-Notation (also \( e \square d \) statt \( \square(e, d) \) ) schreiben können.
a) Zeigen Sie oder widerlegen Sie für-alle \( n \in \mathbb{N}_{+} \):
I ) \( \square \) ist kommutativ.
II ) ৫ ist assoziativ.
Bezeichne im Folgenden \( Z_{2}=\{0,1\} \). Die Menge \( Z_{2}{ }^{n} \) ist demnach die Menge der Bitfolgen der Länge \( n \in \mathbb{N}_{+} \). Für jedes \( n \in \mathbb{N}_{+} \)ist der Operator \( \oplus_{n} \) (wieder in Infixnotation notierbar) folgendermaßen definiert:
\( \begin{aligned} \oplus_{n}: Z_{2}^{n} \times Z_{2}^{n} & \rightarrow Z_{2}^{n}, \\ (v, w) & \mapsto z \end{aligned} \)
mit \( z(i)=1 \) gdw. \( w(i)=1 \) und \( v(i)=1 \) für \( 0 \leq i<n \).
b) Zählen Sie alle Wörter \( w \in Z_{2}^{3} \) auf, bei denen in \( w \oplus_{3} 001 \) genau eine 1 vorkommt.
c) Geben Sie die Mächtigkeit der Menge \( \left\{x \in Z_{2}{ }^{n} \mid x \oplus_{n} 0^{n-1} 1 \neq 0^{n}\right\} \) in Abhängigkeit von \( n>1 \) an.
d) Zeigen Sie oder widerlegen Sie für alle \( n \in \mathbb{N}_{+} \):
I \( \otimes_{n} \) ist kommutativ.
II \( \oplus_{n} \) ist assoziativ.
Problem/Ansatz:
Servus Leute, habe kürzlich das Forum hier entdeckt und bin ziemlich begeistert. Habe mich nun entschieden mal eine Aufgabe hochzuladen, bei welcher ich keinen blassen Schimmer habe wie ich dies lösen soll. Ich bedanke mich schonmal für jede Hilfe. (PS: Leider habe ich es nicht hingekriegt die Aufgabe als Text umzuwandeln deshalb musste ich die Aufgabe so als Bild hochladen)
