Funktionen auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität und Surjektivität. Beweisen oder wider- legen Sie die entsprechenden Eigenschaften.

1. f₂ : ℤ² → ℕ

  f₂ ((x,y)) =_df |x · y|

2. f₃ : ℤ² → ℤ²
  f₃ ((x,y)) =_df (x + y, x)

Hallo, bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter.

Wie weit bist du denn gekommen?

Answer 1

f₂(1,2) = f₂(2,1) aber (1,2)≠(2,1) also nicht injektiv.

Für alle n∈ℕ gilt f₂(1,n)=n , also surjektiv.

f₃(x,y) = f₃(a,b)

==> (x + y, x) = (a + b, b)

==>  x+y=a+b  ∧  x=b

==>  b+y = a+b   ∧  x=b

==>  y = a ∧  x=b

==>  (x,y) = (a,b)  . Also injektiv.

Sei (a,b) ∈ ℤxℤ. Gibt es (x,y) ∈ ℤxℤ mit f₃(x,y) = (a,b) ???

Dann müsste gelten (x + y, x) = (a,b)

==>   x+y=a   ∧  x=b

==> b+y = a ∧  x=b

==>  y = a-b   ∧  x=b

Für alle (a,b) ∈ ℤxℤ  ist (b , a-b )  ∈ ℤxℤ

das Paar, dessen f₃-Bild (a,b) ist. Also f₃ surjektiv.

Answer 2

Aloha :)

$$f_2\colon\mathbb Z^2\to\mathbb N_0\;,\;(x,y)\mapsto|x\cdot y|$$

Injektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge (hier \(\mathbb N_0\)) höchstens 1-mal getroffen wird. Wegen \((0,1)\to0\) und \((0,2)\to0\) wird die \(0\) aber mehr als 1-mal getroffen. Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Wegen \((1,n)=n\) für alle \(n\in\mathbb N_0\) ist das der Fall. Die Abbildung ist surjektiv.$$f_3\colon\mathbb Z^2\to\mathbb Z^2\;,\;\binom{x}{y}\mapsto\binom{x+y}{y}=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}=\overbrace{\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}}^{=A}\binom{x}{y}$$

Die Abbildung ist linear, weil wir sie durch eine Abbildungsmatrix \(A\) darstellen können. Wegen \(\operatorname{det}(A)=1\ne0\), ist die Abbildung invertierbar und daher bijektiv. Daher ist diese Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv.