Hallo Thomas,
Das Berechnen ist nur das Einsetzen von Werten - ich habe:$$f((1,0),\,(1,0)) = (1,\,0) \\ f((0,1),\,(0,1)) = (-1,\,0) \\ f((1,0),\,(a_1,a_2)) = (a_1,\,a_2) \\ f((0,1),\,(a_1,a_2)) = (-a_2,\,a_1) \\ f((a_1,a_2),\,(a_1,-a_2)) = (a_1^2+a_2^2,\,0)$$
Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge aus maximal einem Element der Definitionsmenge abgebildet werden kann. Das ist aber nicht der Fall. Ein Gegenbeispiel reicht:$$f((1,0),\,(1,0)) = f((0,-1),\,(0,1)) = (1,\,0)$$ Surjektivität bdeutet, dass jedes Element der Zielmenge mit der Abbildung zu erreichen ist. Ich schreibe dazu$$f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) = \left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right)=(x,y) $$und wenn man nun zeigen kann, dass für jeden Punkt \((x,y)\) mindestens ein Punktepaar \(\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right)\) existiert, für das diese Gleichung aufgeht, so ist die Funktion \(f\) surjektiv. Dazu setze ich \((a_1,a_2) = (1,0)\)$$\begin{aligned} f\left(\left(1, 0\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) &= \left(b_{1}, b_{2}\right) \\ &=(x,y)\end{aligned}$$Mit \((b_1,b_2) = (x,y)\) kann man diese Gleichung in jedem Fall erfüllen und damit ist gezeigt, dass \(f\) surjektiv ist.
Siehe auch hier.
Gruß Werner