Berechnen Sie: f((1,0),(1,0))

Question

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch:
\( f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right):=\left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) . \)

1. Berechnen Sie:
\( f((1,0),(1,0)) \) sowie \( f((0,1),(0,1)) \),
\( f\left((1,0),\left(a_{1}, a_{2}\right)\right) \) sowie \( f\left((0,1),\left(a_{1}, a_{2}\right)\right) \) für \( a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R} \),
\( f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1},-a_{2}\right)\right) \) für \( a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R} \).

2. Beweisen oder widerlegen Sie:
\( f \) ist injektiv,
 \( f \) ist surjektiv.

Wie kann ich das genau berechnen?

Comments

Wie wird dies berechnet?

Answer 1

Hallo Thomas,

Das Berechnen ist nur das Einsetzen von Werten - ich habe:$$f((1,0),\,(1,0)) = (1,\,0) \\ f((0,1),\,(0,1)) = (-1,\,0) \\ f((1,0),\,(a_1,a_2)) = (a_1,\,a_2) \\ f((0,1),\,(a_1,a_2)) = (-a_2,\,a_1) \\ f((a_1,a_2),\,(a_1,-a_2)) = (a_1^2+a_2^2,\,0)$$

Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge aus maximal einem Element der Definitionsmenge abgebildet werden kann. Das ist aber nicht der Fall. Ein Gegenbeispiel reicht:$$f((1,0),\,(1,0)) = f((0,-1),\,(0,1)) = (1,\,0)$$ Surjektivität bdeutet, dass jedes Element der Zielmenge mit der Abbildung zu erreichen ist. Ich schreibe dazu$$f\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) = \left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}, a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right)=(x,y) $$und wenn man nun zeigen kann, dass für jeden Punkt \((x,y)\) mindestens ein Punktepaar \(\left(\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right)\) existiert, für das diese Gleichung aufgeht, so ist die Funktion \(f\) surjektiv. Dazu setze ich \((a_1,a_2) = (1,0)\)$$\begin{aligned} f\left(\left(1, 0\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right) &= \left(b_{1}, b_{2}\right) \\ &=(x,y)\end{aligned}$$Mit \((b_1,b_2) = (x,y)\) kann man diese Gleichung in jedem Fall erfüllen und damit ist gezeigt, dass \(f\) surjektiv ist.

Siehe auch hier.

Gruß Werner