Finde so viele involutorische Funktionen wie möglich.

Question

Aufgabe:

1. Finde alle involutorischen linearen Funktionen.

2. Finde mindestens zwei involutorische mit x im Nenner des Funktionsterms.

Problem/Ansatz:

Ich habe bei Aufgabe 1 nur die Funktionen f(x) = x und f(x) = -x. Gibt es da noch mehr?

Bei Aufgabe 2 habe ich bisher die Funktionen f(x) = 1/x; 2/x; … und f(x) = 1/2x; 1/3x; … . Gibt es hier auch noch mehr Möglichkeiten?

Answer 1

Ich habe bei Aufgabe 1 nur die Funktionen f(x) = x und f(x) = -x. Gibt es da noch mehr?

Nein; denn sei \(f(x)=ax+b\). Dann gilt

\(x=f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2 x+b(1+a)\; \forall x\in \mathbb{R}\iff\)

\((a^2-1)x+b(a+1)=0\; \forall x\in \mathbb{R}\iff\)

\(a^2=1\;\wedge\; b=0\), also

\(f(x)=x\) oder \(f(x)=-x\).

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Dann lag ich ja richtig mit meiner Vermutung.

Hättest du vielleicht schon einen Ansatz für Aufgabe 2?

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Bei der 2. Aufgabe ist 2/x nicht involutorisch.
Ich habe als Beispiele f(x)=1/x und g(x)=-1/x auf die
Schnelle gesehen.

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Sorry a/x ist doch für alle a ungleich 0 involutorisch.

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Dankeschön! Hat mich auch gerade gewundert, wieso das falsch sein sollte. Fällt dir auf die Schnelle noch eine andere Funktion ein, bei der noch etwas anderes außer x im Nenner steht?

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Warum ist

y = a - x

nicht für alle a involutorisch? Benutzt ihr eine andere Definition für involutorisch als ich?

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@Der_Mathecoach: Asche auf mein Haupt !!!!

Answer 2

Ich habe bei Aufgabe 1 nur die Funktionen f(x) = x und f(x) = -x. Gibt es da noch mehr?

y = a - x

Bei Aufgabe 2 habe ich bisher die Funktionen f(x) = 1/x; 2/x; … und f(x) = 1/2x; 1/3x; … . Gibt es hier auch noch mehr Möglichkeiten?

Du kannst deine Funktionen zusammenfassen zu

y = a / x

Es geht auch etwas allgemeiner.

y = a / (x - b) + b

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Wenn ich aber bei Aufgabe 1 statt a eine Zahl einsetzte, beispielsweise eine 2, würde es so aussehen: f(x) = 2-x  –> f(f(x)) = -x+2 . Das wäre dann ja keine involutorische Funktion mehr.

Aber trotzdem Danke, vor allem für Aufgabe 2.

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Woran erkennst du, dass y = -x + 2 keine involutorische Funktion ist?

Löse die Gleichung y = -x + 2 nach x auf. Was stellst du am Ergebnis fest?

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Oh ja stimmt. Das habe ich wohl übersehen. Vielen Dank!

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Aber die Funktion y = a / (x - b) + b ist doch nicht involutorisch, oder? Wenn doch, könntest du mir ein Beispiel nennen?

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Wenn doch, könntest du mir ein Beispiel nennen?

Was willst du jetzt hören?

y = 17 / (x - 29) + 29 ?