Für Vektoren v1, v2,..., vn im K -Vektorraum gilt:

Question

Aufgabe: Für Vektoren v_1, v₂,..., v_n im K -Vektorraum gilt:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} w_{1} &:=v_{1} \\ w_{2} &:=v_{1}+v_{2} \\ & \vdots \\ w_{n} &:=v_{1}+\ldots+v_{n} . \end{aligned} \)

Es ist zu beweisen, dass die Vektoren v1,..., vn genau dann linear unabhängig sind, wenn w1,....wn linear unbhänig sind.

Ich bin leider total aufgeschmissen.

Answer 1

\(  v_1 , \dots , v_n  \) linear unahhängig heißt

Für alle \(  a_1 , \dots , a_n \)  aus K gilt :

\(  \sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot v_k = \vec{0}\)      ==>      \( a_1=\dots=a_n=0  \)    #

Seien nun \(  b_1 , \dots , b_n \)  aus K mit

\(  \sum\limits_{k=1}^n b_k \cdot w_k = \vec{0}\)   

==>  \(  \sum\limits_{k=1}^n b_k \cdot \sum\limits_{i=1}^k v_i = \vec{0}\)

   ==>  \(  \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^k   b_k \cdot v_i = \vec{0}\)

==>  \(  \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^k   b_i \cdot v_k= \vec{0}\)

==>  \(  \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^k   b_i) \cdot v_k = \vec{0}\)

Wegen # ( dabei sind die a_k immer die entsprechenden Summen) folgt

\( \forall k ε \{ 1,\dots,n \}   \sum\limits_{i=1}^k   b_i =0  \) also quasi

\(\begin{aligned} 0 &=b_{1} \\ &0=b_{1}+b_{2} \\ & \vdots \\            0=b_{1}+\ldots+b_{n} . \end{aligned} \)

Und damit folgt der Reihe nach   \( b_1=\dots=b_n=0  \) .

Also v1,..., vn  linear unabhängig

==>   w1,....wn linear unbhänig .

Umgekehrt entsprechend.