Beweis mit Bijektion wird gefordert

Question

Aufgabe:

Nehmen wir an, dass a und b Elemente der reellen Zahlen sind, wobei a kleiner als b ist.

Beweisen sie, dass sich  [a, b]  bijektiv auf R abbilden lassen.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Ich würde erst eine Bijektion \(g:[a,b]\rightarrow [-1,1]\) bauen, und

dann zeigen, dass \(f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R} , \; f(x)=\frac{x}{1+|x|}\)

eine Bijektion ist. Dann ist \(f\circ g\) eine Bijektion mit den

geforderten Eigenschaften.

Comments

zeigen, dass \(f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R} , \; f(x)=\frac{x}{1+|x|}\)eine Bijektion ist.

Kannst du das ?

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Nee ! ;-)

Ich meine natürlich

\(f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1), \; f(x)=\frac{x}{1+|x|}\).

Dann ist \(f^{-1}\circ g\) leider auch nicht die Lösung. Mea Culpa !

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Nach Anwenden von Hilbert geht's

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@Gast hj2166:

ich könnte mit der Kardinalität des Kontinuums wohl
was hinbekommen. Aber kennst du eine "konkrete"
Bijektion? Eine stetige Abbildung kommt ja eher nicht
in Frage, zumindest keine Homöomrphie, da das abgeschlossene
Intervall kompakt ist.

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Es kommt doch nur noch darauf an, die Ränder des Intervalls [-1 , 1] ins Innrere zu drücken.
Das machst du wie weiland Hilberts Nachtportier : 1 -> 1/2 , 1/2 -> 1/3 , 1/3 -> 1/4 , ...

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Vielen Dank. Da muss ich noch drüber nachdenken.
In der Tat hatte ich auch schon an Hilberts Hotel
gedacht. Aber so ganz habe ich es noch nicht ....

Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen.
Nochmals danke!

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@Gast hj2166:

Das war für mich sehr lehrreich !

Nun weiß ich, wie man endlich viele Elemente

"schadlos" in eine abzahlbare unendliche, aber eben auch

in eine überabzählbare Menge einfügen kann.

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Geht auch ein Beispiel, dass man ohne das Konzept von Hilbertshotel darstellen kann?

Answer 2

Das war ein Fehler !

Comments

Schon wieder ein zu unüberlegter Schnellschuss

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Was für einen Fehler meinst du?