Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt:...

Question

Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∪ B⟩K = ⟨A⟩K + ⟨B⟩K .

 (b) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∩ B⟩K = ⟨A⟩K ∩ ⟨B⟩K . 

Sitze jetzt schon den ganzen Abend an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter... Das Einzige, was ich bis jetzt herausgefunden habe, ist, dass es sich bei a um eine wahre Aussage handelt und bei b um eine Falsche. Habe aber keine Ahnung wie ich a zeigen und b widerlegen soll

Über eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar

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Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∪ B⟩K = ⟨A⟩K + ⟨B⟩K . 

(b) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∩ B⟩K = ⟨A⟩K ∩ ⟨B⟩K . 

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Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∪ B⟩K = ⟨A⟩K + ⟨B⟩K . 

(b) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A, B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∩ B⟩K = ⟨A⟩K ∩ ⟨B⟩K . 

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Zeigen oder widerlegen Sie

(a) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A,B ⊂ V Teilmengen, so gilt: ⟨A ∪ B⟩_K = ⟨A⟩_{K +} ⟨B⟩_K

(b) Ist K ein Körper, V ein K-Vektorraum und sind A;B  ⊂  V Teilmengen, so gilt:  ⟨A ∩ B⟩_K  = ⟨A⟩_K ∩ ⟨B⟩_K

Anmerkung: Um herauszufinden, ob eine solche Aussage wahr ist, ist es hilfreich, sich konkrete Beispiele zu überlegen.  Wenn Sie ein Gegenbeispiel finden, reicht es, dieses Gegenbeispiel anzugeben, um die Aussage zu widerlegen. Um eine solche Aussage zu zeigen müssen Sie jedoch begründen, dass sie immer wahr ist (d.h. für alle K, V, A und B).

Hat sowas schon mal jemand von euch gemacht oder kann das anhand eines Beispiels mal erklären? Ich sitze da jetzt schon seit mehreren Stunden dran, aber ich komm einfach nicht voran.
und ja, es gibt Leute, die sind KEINE Mathe.Profis/ Nerds/ Freaks xD
ich bin wohl eher das absolute Gegenteil.
Also gerne für Dummies erklären :)

Danke euch schon  mal im voraus <3

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Die Frage kam in den letzten Tagen schon mindestens drei mal. Schau die Fragelisten durch. Es gibt eine Antwort.

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Hallo habe echt Probleme bei Nr 4 komme dort einfach nicht weiter 

Answer 1

⟨A ∪ B⟩K = ⟨A⟩K + ⟨B⟩K 

Mengengleichheit wie üblich zeigen:

Sei z aus ⟨A ∪ B⟩K. Dann gibt es u aus A ∪ B und c aus K

mit  z = u*c.

Also u aus A oder u aus B.   o.B.d.A   u aus A.

Dann ist  u*c aus (A)K , also  z =  u*c + 0-Vektor

eine Darstellung, die zeigt, dass z aus  ⟨A⟩K + ⟨B⟩K  ;

denn wegen 0 aus K ist für nicht leeres B der 0-Vektor in (B)K.

Und für leeres B ist eh ⟨A ∪ B⟩K = ⟨A⟩K + ⟨B⟩K trivial.

umgekehrt: Sei z aus  ⟨A⟩K + ⟨B⟩K  .  Daraus


z aus ⟨A ∪ B⟩K.  herleiten.

Comments

.. und wie kann man die Aussage in b) widerlegen?

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Bist du sicher, dass die falsch ist ?

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Eigentlich schon...habe mir das damit erklärt, dass das Erzeugendensystem von der leeren Menge 0 ist.

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Denken Sie, dass b eine wahre Aussage ist?

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Könnte sein, dass es doch falsch ist.Etwa  in IR² und K = IR   A = {(1;1) }  und B = {(2;2)}

Dann ist A∩B = ∅   also auch  ⟨A ∩ B⟩K  = ∅aber (A)K = (B)K = { (x;x) | x aus IR } ≠ ∅.

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Wie macht man das:

Daraus z aus ⟨A ∪ B⟩K.  herleiten.