Es seien V ein K-Vektorraum sowie M1 und M2 Teilmengen von V. ZZ: [ M1 ∩ M2 ] ⊂ [ M1 ] ∩ [ M2 ]

Question

Es seien V ein K-Vektorraum sowie M1 und M2 Teilmengen von V. Zeigen Sie:

a) [ M1 ∩ M2 ] ⊂ [ M1 ] ∩ [ M2 ].

b) In a) gilt im Allgemeinen keine Gleichheit.

c) [ M1 ∪ M2 ] = [[ M1 ] ∪ [ M2 ]] und insbesondere [[ M ]] = [ M ].

Danke im voraus

Answer 1

a) Sei x ∈  [M1 ∩ M2] ==>  Es gibt Koeffizienten a_i ∈ K mit und Vektoren v_i ∈  M1 ∩ M2

mit x = ∑ a_iv_i .  Da die vi aber sowohl in M1 als auch in M2 sind

ist x sowohl aus [M1] also auch aus [M2]  also aus  [M1] ∩ [M2].

b) Betrachte M1 = { ( 1,1) ; (1,0) }  und M2 = { ( 1,1) ; (0,1) }

==>   [M1] ∩ [M2] = R^2 aber   [M1 ∩ M2] = { (x;x) | x ∈ℝ }