Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Zeige: M1 ⊂ M2 ⊂ X ⇒ f(M1) ⊂ f(M2);

Question

Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei Mengen X und Y. Man zeige:

M1 ⊂ M2 ⊂ X  ⇒  f(M1) ⊂ f(M2);

N1 ⊂ N2 ⊂  Y ⇒ f^{-1} (N1) ⊂ f^{-1} (N2)

Kann mir jemand einen Lösungsvorschlag geben?

Danke Schön

Answer 1

Beweise mit Mengen führt man in der Regel elementweise durch, man betrachtet also die Elemente der beteiligten Mengen.

1)

Beweisidee:

Wenn M1 Teilmenge von M2 ist, dann enthält M2 alle Elemente von M1 und dann muss die Bildmenge von M2 auch alle Bilder von M1 enthalten. 

Formal:

M1 ⊂ M2 ⊂ X

=> ∀_{m1 ∈ M1} m1 ∈ M2

=> ∀_{m1 ∈ M1} f ( m1 ) ∈ f ( M2 )

=> f ( M1 ) ⊂ f ( M2 )

 

2)

Beweisidee:

Wenn N1 Teilmenge von N2 ist, dann enthält N2 alle Elemente von N1 und dann muss die Urbildmenge von N2 auch alle Urbilder von N1 enthalten.

Formal:

N1 ⊂ N2 ⊂  Y

=> ∀_{n1 ∈ N1} n1 ∈ N2

=> ∀_{n1 ∈ N1} f ^-1 ( n1 ) ∈ f ^-1 ( N2 )

=> f ^-1( N1 ) ⊂ f ^-1( N2 )