Zeigen sie durch ohne Indktion, dass für alle n>=1 gilt:

Question

Aufgabe:

ohne vollständige Induktion, dass für alle \( n \geq 1 \) gilt: \( \sum \limits_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n 2^{n-1} \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie es mit vollständiger Induktion Aufgaben zu lösen sind, aber ohne hab ich leider keine Ahnung

Answer 1

Rechne zunächst nach, dass \(\displaystyle k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}\) gilt.
Mit dem binomischen Lehrsatz folgt$$\sum_{k=1}^nk\binom nk=\sum_{k=1}^nn\binom{n-1}{k-1}=n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k=n(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}.$$