Sei \( K \) ein Körper und \( V \) ein \( K \)-Vektorraum. Zeigen Sie:
i) Seien \( u_{1}, u_{2} \in V \). Gilt \( 1+1 \neq 0 \) in \( K \), so ist die Familie \( u_{1}, u_{2} \) genau dann linear unabhängig, wenn die Familie \( u_{1}+u_{2}, u_{1}-u_{2} \) linear unabhängig ist.
Problem: Bedeutet 1 + 1 ≠ 0 einfach nur, dass es mindestens 2 Elemente geben muss?
Ich habe versucht es in Logik auszudrücken, mit:
\( 1+1 \neq 0 \) in \( K \) =: A
Familie \( u_{1}, u_{2} \) linear unabhängig =: B
Familie \( u_{1}+u_{2}, u_{1}-u_{2} \) linear unabhängig =: C
Daraus würde ich schließen: A → ( B ⇔ C ).
Ich habe irgendwie die Vermutung mit Kontraposition zu arbeiten bzw. zu beweisen, aber ich weiß leider nicht wie man genau diesen Ausdruck negiert, wenn es überhaupt logisch richtig aufgeschrieben wurde.
Danke für die Hilfe!
