Aufgabe:
Welche der folgenden Aussagen sind (für alle Körper K, für alle K-Vektorräume V) wahr? Begründe die positiven Antworten, und gib für die falschen Aussagen jeweils ein Gegenbeispiel an. (Mit „V ist unendlich“ ist gemeint: die Menge V ist keine endliche Menge. „l.u.“ = linear unabhängig, „l.a.“ = linear abhängig)
1. Wenn V unendlich ist, und K unendlich, dann gibt es in V eine unendliche l.u. Menge. 2. Wenn V unendlich ist, und K endlich, dann gibt es in V eine unendliche l.u. Menge. 3. Wenn V unendlich ist, dann gibt es in V eine unendliche l.u. Menge.
4. Wenn V unendlich ist, dann gibt es in V eine unendliche l.a. Menge.
5. Wenn V endlich ist, dann ist K endlich.
6. Wenn V unendlich ist, dann ist K unendlich.
Hinweis: Oft kann ein Gegenbeispiel der Form Kn für ein geeignetes n ∈ N gefunden werden.
Hinweis :Ersetzen Sie im Punkt 5 die Phrase „V endlich“ durch „V endlich mit mindestens 2 Elementen“. (Dadurch wird der 1-elementige Vektorraum ausgeschlossen
