Den Induktionsanfang machst du wie immer für \(n=1\). Einsetzen und ausrechnen.
Beim Induktionsschritt beachtest du, dass die Summe bei \(n+1\) anfängt und bei \(3(n+1)=3n+3\) aufhört.
Beachte \(\sum\limits_{k=n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}=\sum\limits_{k=n}^{3n}\frac{1}{1+k}-\frac{1}{1+n}+\sum\limits_{k=3n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}\).
Da die vordere Summe \(>1\) ist nach IV, musst du zeigen, dass \(-\frac{1}{1+n}+\sum\limits_{k=3n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}>0\) ist.