Zeigen Sie durch Induktion, dass für alle n die Ungleichung Σ k=n3 n \frac{1}{1+k} 1 gilt.

Question

Zeigen Sie durch Induktion, dass für alle n die Ungleichung $\sum \limits_{k=n}^{3 n} \frac{1}{1+k}>1$ gilt.

Problem:

Ich verstehe wie Induktion funktioniert. Ich weiß aber nicht wie ich den I.A. und das n= n+1 dann machen soll.

$\quad \frac{1}{1+n} + \frac{1}{2+n} + \frac{1}{3+n} + \ldots + \frac{1}{1+(3n-1)} + \frac{1}{1+3n}$

ist es so gedacht, dass ich für alle n die gleiche zahl beim IA. einsetzen muss? wie soll ich dann rausfinden wann es >1 da ich ja nicht weiß was in der Mitte von der Ungleichung steht. evt muss ich mir noch eine definition angucken?

Answer 1

Den Induktionsanfang machst du wie immer für $n=1$. Einsetzen und ausrechnen.

Beim Induktionsschritt beachtest du, dass die Summe bei $n+1$ anfängt und bei $3(n+1)=3n+3$ aufhört.

Beachte $\sum\limits_{k=n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}=\sum\limits_{k=n}^{3n}\frac{1}{1+k}-\frac{1}{1+n}+\sum\limits_{k=3n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}$.

Da die vordere Summe $>1$ ist nach IV, musst du zeigen, dass $-\frac{1}{1+n}+\sum\limits_{k=3n+1}^{3n+3}\frac{1}{1+k}>0$ ist.

Comments

muss ich > 0 zeigen weil die letzte summe immer mehr ist als -1/(1+i) ? wenn ja dann habe ich es glaube ich verstanden :)

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Kannst du mir bitte Tipps geben wie ich mit

$-\frac{1}{1+n} + \frac{1}{3n+2}+...+ \frac{1}{3n+4}$  rechnen soll? oder wo ich nachschauen könnte wo man solche Basics nachgucken kann?

Ich will die ersten zwei Brüche rechnen aber ich weiß nicht wie ich sie auf den gleichen Nenner bringen soll.

ich kenne nur zb: $8^{7n+3} * 8 = 8^{7n+4}$

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Ich will die ersten zwei Brüche rechnen

Vergleiche lieber die jeweiligen Differenzen des zweiten bzw. vierten zum dritten Bruch.

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$\frac{1}{3n+2} + \frac{1}{3n+3} + \frac{1}{3n+4}$

erweitere ich dann die ersten beiden Brüche mit 1/(3n+2) und 1/(3n+1) um dann 3/(3n+4) zu erhalten?

ich verstehe die Rechengesetze hier überhaupt nicht

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Du erweiterst nicht mit den Brüchen, sondern du musst so erweitern, dass du auf den gleichen Nenner kommst. Im schlimmsten Fall: $\frac{1}{a}\pm\frac{1}{b}=\frac{b\pm a}{ab}$ bildest du das Produkt der jeweiligen Nenner.