Integralform des Restglieds abschätzen.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass
\( \left|\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{157}{128}\right|<\frac{1}{400} \)
gilt, indem Sie die Integralform des Restgliedes geeignet abschätzen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diesen Aufgabenteil nicht

Comments

Du wirst wohl etwas mehr über den Hintergrund sagen müssen.

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Es sei \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f: x \mapsto \sqrt{1+x} \).
(i) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 zu \( f \) in \( x_{0}=0 \).
(ii) Zeigen Sie, dass
\( \left|\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{157}{128}\right|<\frac{1}{400} \)
gilt, indem Sie die Integralform des Restgliedes geeignet abschätzen.

Das ist die komplette Aufgabe. Sorry wusste nicht, dass die beiden Aufgabenteile zusammenhängen bzw. sich (ii) auf (i) bezieht.

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Hallo

\( \sqrt{3/2} =\sqrt{1+0,5}\)

due wertest also  Taylor von \( \sqrt{1+x} \) an der Stelle x=0,5 aus, das gibt wohl die 157/128 und zeigst dass der Fehler  also das Restglied kleiner0 1/400 ist.

Gruß lul

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Wie schätzt man ein Integral am besten ab? Bei dem einfachsten Ansatz, indem das Supremum über dem Funktionsterm aus dem Integral mit |x-x₀| multipliziert wird liefert ein Ergebnis größer 1/400. Gibt es eine konkretere Abschätzungsmöglichkeit?

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Bei mir hat das geklappt. Vielleicht schreibst Du mal das Restglied, das Du verwendet hast hierhin.

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\( \int\limits_{0}^{0,5} \) \( \frac{-5}{32} \) * \( \frac{(0,5-t)^{3}}{(t+1)^{7/2}} \)dt

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Wenn ich das t im Nenner durch 0 abschätze und das verbleibende Integral ausrechne:

$$\frac{5}{32}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{0.98}{400}$$

Answer 1

Mein Kommentar ist eigentlich die Antwort.

lul