Analysis 1: Folgen und Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Seien (z_n) (_{n E N , eine Teilmenge der kompl. Zahlen)}  eine Folge und z E der kompl. Zahlen. Zeigen Sie:

lim n -> unendl.: z_n = z genau dann, wenn lim n -> unendl.: Re z_n = Re z und lim n -> unendl.: Im z_n = Im z

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand mit der Aufgabe helfen oder mir einen Ansatz dafür geben?

Answer 1

lim n -> unendl.: z_n = z

<=>  Zu jedem ε>0 gibt es ein N∈ℕ mit n>N ==> |z_n - z | <ε. #

|z_n - z | <ε <=> | Re(z_n) + i*Im(z_n) - ( Re(z) + i*Im(z)) |<ε

             <=> | (Re(z_n)  - Re(z))  + i*(Im(z_n)  - Im(z)) |<ε

<=> \( \sqrt{ (Re(z_n)  - Re(z))^2   + (Im(z_n)  - Im(z))^2 }<ε  \)

Wenn also # erfüllt ist , dann folgt auch

\( \sqrt{ (Re(z_n)  - Re(z))^2 }  <ε  \)

==>   \( | Re(z_n)  - Re(z) |   <ε  \)  also lim n -> unendl.: Re z_n = Re z

Entsprechend auch   lim n -> unendl.: Im z_n = Im z

Bei der Umkehrung für die beiden mit ε/2 arbeiten.