Eine Aufgabe zu divergenten Reihen

Question

Aufgabe:

(i) Zeige: Sei a_n > 0 für alle n ≥ N und (a_n+1)/a_n ≥ 1 für alle n ≥ N. Dann divergiert die Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{n}{ak} \)  n∈N.
(ii) Zeige: Sei a_n ≥ 0 für alle n ≥ N und a_n^(1/n) ≥ 1 für alle n ≥ N. Dann divergiert die Reihe \( \sum\limits_{k=0}^{n}{ak} \) n∈N.

Problem/Ansatz:

Ich glaub die Aufgabe ist nicht schwer nur bin ich leider etwas verwirrt was es mit dem groß N auf sich hat. ich wollte beide Aufgaben mit der harmonischen Reihe lösen. Könnte mir jemand z.B: das erste (i) mittels der harmonischen Reihe groß N erklären.

Comments

Sicher , dass es (a_n+1)/a_n ≥ 1 heißt

und nicht   (a_n+1)/a_n ≥ 1  ???

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Danke dir hab ich korrigiert. <3

Answer 1

Sei an > 0 für alle n ≥ N und \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 \) für alle n ≥ N.

==>  \( a_{n+1} \ge  a_n\)  ==>  Für alle n ≥ N gilt   \( a_{n} \ge a_N \)

==>  für alle n ≥ N   \( \sum\limits_{k=0}^{n}{ak} \ge \sum\limits_{k=0}^{N}{ak} + (n-N)\cdot a_N\)

Und für n gegen unendlich geht auch \(  (n-N)\cdot a_N\) gegen unendlich.