Kann ich so auch bei einer divergenten Folge argumentieren, also dass ich quasi dass 1/3 aus meiner Reihe ziehe?

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe eine Frage: und zwar soll ich über die Konvergenz bzw. divergenz der Reihe

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{1/(3k)} \) entscheiden.

Dadurch dass die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{1/k} \) divergiert, denke ich dass die oben angeführte Reihe auch divergiert. Ich weis, dass man zum Beweis der Konvergenz einer Folge den konstanten Faktor rauszieheb darf, sprich im Skriptum steht folgendes geschrieben: Es sei \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{ai} \) eine konvergente Reihe und b element R. Dann gilt \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{b*ai} \) =b* \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{ai} \)

Problem/Ansatz:

Kann ich so auch bei einer divergenten Folge argumentieren, also dass ich quasi dass 1/3 aus meiner Reihe ziehe?

Danke für jede Antwort:)

Comments

Argumentiere indirekt : Wenn ∑ 1/(3k) = s ∈ ℝ  konvergent wäre, dann könntest du deinen Satz anwenden und es wäre 3*s = 3*∑ 1/(3k) = ∑ 3*1/(3k) = ∑ 1/k ∈ ℝ , also konvergent, was aber ja bekanntlich nicht der Fall ist.

Answer 1

\( \frac{1}{3k} \)=\( \frac{1}{3} \) ·\( \frac{1}{k} \). Damit enthalten alle Summanden den Faktor \( \frac{1}{3} \) der nach dem Distributivgesetz ausgeklammert werden kann.

Answer 2

gelöscht.

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Comments

Aus welchem Grund sollte es das nicht sein?

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FS fragt explizit

Kann ich so auch bei einer divergenten Folge argumentieren, also dass ich quasi dass 1/3 aus meiner Reihe ziehe?

Eine Antwort darauf wäre eine Begründung so,
wie Gast hj2166 sie geliefert hat, indem er sich
auf bewiesene Sätze über konvergente Rehen beruft.

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Warum genügt es nicht zu sagen, dass auch das Drittel einer divergenten

Reihe nicht konvergent sein kann?

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Warum genügt es nicht zu sagen, dass auch das Drittel einer divergenten

Reihe nicht konvergent sein kann?

Klar läuft es auf solch eine intuitive Vorstellung hinaus.
Aber welchen Sinn soll der Ausdruck \(\frac{1}{3}\sum \frac{1}{n}\)
haben? Wie kann man etwas, das nicht existiert, mit einer
reellen Zahl multiplizieren?