Zeigen Sie, dass 0 < a <= b

Question

Aufgabe:

Es sei \( 0<a \leq b \). Zeigen Sie, dass
\( a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} . \)

Comments

Die Überschrift zu dieser Aufgabe ist falsch. Die darin gegebenen Ungleichungen sind ja Voraussetzungen (und nicht nachzuweisende Folgerungen).

Answer 1

\(a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} . \)

\( 0<a \leq b \)

==>  \( 0<a+b \leq 2b \)

==>  \( 0<(a+b)^2  \leq 4b^2 \)  | * a^2 

==>  \( a^2(a+b)^2  \leq 4a^2b^2 \) 

==>  \( a^2  \leq \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} = (\frac{2ab}{a+b})^2  \)

Das wäre der 1. Teil.

Vielleicht bekommst du die anderen auch in der Art hin.