Koordinatensystem Wechsel π/3 Vektor

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Koordinatensystem Wechsel π/3 Vektor

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Hallo,

Berechnen Sie die neuen Koordinaten des Punktes, der im ursprunglichen Koordinatensystem durch x = (2, 3, 1)T dargestellt wird!

Es ist nicht immer ganz eindeutig, wie das genau gemeint. Ich unterstelle, dass $x$ ortsfest ist und der Beobachter sich dreht und nun der Punkt $x'$ im System des Beobachters gesucht ist.

Du kannst jede Drehung um $\alpha$ um die $x_3$-Achse durch die Drehmatrix $D_3$ darstellen:$$D_3(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$$Diese Matrix beschreibt die Abbildung aus dem gedrehten System in das Ausgangssystem. Ist die ursprünglich Position $x$ so gilt für die gedrehte Position $x'$$$x = D_3 \cdot x' \implies x'=D_3^{-1} \cdot x$$Die Inverse ist bei diesen Matrizen immer die Transponierte. Somit gilt für $\alpha = \pi/3$$$D_3^{-1}(\pi/3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0\\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} & 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$$Also ist die Position $x'$ aus der Sicht des Beobachters$$x' = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0\\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} & 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 +\frac{3}{2}\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}+\frac{3}{2}\\ 1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}3.598\\ -0.232\\ 1\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Beantwortet 18 Nov 2022 von Werner-Salomon

Finden Sie die Matrix $ B $, die diese Abbildung bezüglich des gedrehten Koordinatensystems.

Die Matrizen müssen multipliziert werden. Dabei ist es ganz wichtig, sich klar zu machen, wo das jeweilige Bezugssystem ist. Ich bevorzuge da die Notation aus der Robotik. So bedeutet z.B. ${}^{1}T_2$ die Transformation des Systems 2 bezogen auf das System 1.

Übersetzt in den Fall oben mit 0 als Ursprungssystem und D als gedrehtes System heißt das $${}^Dx = {}^DT_0 \cdot {}^0x \quad {}^DT_0 = D_3^{-1}(\pi/3)$$Ist das gespiegelte System $S$, dann ist $$A = {}^{0}T_{S}$$wobei hier $A=A^{-1}$ und damit ${}^{0}T_{S} = {}^{S}T_{0}$ ist.

Wenn dort steht

Finden Sie die Matrix $ B $, die diese Abbildung bezüglich des gedrehten Koordinatensystems.

dann unterstelle ich, dass die Abbildung $B={}^{D}T_S$ gesucht ist. Wenn das klar ist, ist der Rest Formsache. Die Indizes rechts und links vom Multiplikationspunkt müssen gleich sein!$${}^{D}T_S = {}^{D}T_0 \cdot {}^{0}T_S \\ \phantom{{}^{D}T_S} = D_3^{-1}(\pi/3) \cdot A \\ \phantom{{}^{D}T_S} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0\\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} & 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{pmatrix} \\ \phantom{{}^{D}T_S}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0&\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0& \frac{1}{2} \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$

Kommentiert 18 Nov 2022 von Werner-Salomon

Noch eine Frage müsste man für B herauszufinden nicht noch mit D multiplizieren

Na ja - ich schrieb ja schon, dass ich die Aufgabenstellung für nicht eindeutig halte. Wenn ich mal davon ausgehe, dass $$D = D_3(\pi/3) = {}^0T_D$$d.h. $D$ ist die Abbildung, die das gedrehte System bezogen auf das Ursprungssystem $0$ beschreibt. Und $A$ ist - so wie ich die Aufgabe verstanden habe$$A = {}^0T_S = {}^ST_0$$also die Abbildung, die das an der blauen Ebene (s. Skizze oben) gespigelte 0-System beschreibt. Dann macht das hier$$D \cdot A \cdot D^{-1} = {}^0\underbrace{T_D \cdot {}^0}_{D \ne 0}\underbrace{T_S \cdot {}^D}_{S \ne D}T_0$$überhaupt keinen Sinn. Die Indizes passen nicht, also da werden 'Äpfel mit Birnen' multipliziert.

Wenn Du Dir das Bild oben ansiehst, so passen doch die Koordinate des gespiegelte Punktes $x$ bezogen auf das gedrehte System genau zu der Zeichnung.$$B = D^{-1} \cdot A = {}^DT_0 \cdot {}^0T_S = {}^DT_S \\ {}^Dx = {}^DT_S \cdot {}^Sx \\ =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0&\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & 0& \frac{1}{2} \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3\\1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1.866\\ -1.232\\ 3\end{pmatrix}$$und das stimmt ja genau mit der Skizze überein, warum sollte es also anders sein! Ich hatte Dir dazu die Koordinaten von ${}^Dx$ in $D$ eingezeichnet.

Beachte dabei, dass ${}^Sx$ und ${}^0x$ unterschiedliche Punkte sind, die aber in ihrem jeweiligen System - einmal gespiegelt und einmal Original $(0)$ die selben Koordinaten haben.

Kommentiert 21 Nov 2022 von Werner-Salomon

ich verstehe deine Erklärung vollkommen, aber dann verstehe ich unser Skript nicht bzw das beispiel was da berechnet wurde.

die Transformationsformel für die Matrizen linearer Abbildungen lautet dann
B = U^T A U.

Beispiel:

Im $ \mathbb{R}^{2} $ werde das Koordinatensystem um $ 45^{\circ} $ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Damit ist gemeint, dass $ \boldsymbol{u}_{1} $ durch eine Drehung von $ \boldsymbol{e}_{1} $ um $ 45^{\circ} $ gegen den Uhrzeigersinn hervorgeht und $ \boldsymbol{u}_{2} $ durch eine Drehung von $ e_{2} $ um $ 45^{\circ} $ gegen den Uhrzeigersinn. Somit ist
$ \boldsymbol{u}_{1}=\left(\begin{array}{c} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \boldsymbol{u}_{2}=\left(\begin{array}{c} -\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right) $
und daher
$ U=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) . $
Da $ U $ eine orthogonale Matrix ist, folgt
$ U^{-1}=U^{\top}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) . $
Ist nun etwa der Vektor mit den Koordinaten $ \boldsymbol{x}=(3,2)^{T} $ bezüglich der Standardbasis gegeben, so hat er bezüglich der neuen Basis die Koordinaten
$ \boldsymbol{y}=U^{\top} \boldsymbol{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \end{array}\right) \text {, also } y_{1}=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \text { und } y_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \text {. } $
Und wird beispielsweise die durch die Matrix
$ A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $

bezüglich der Standardbasis definierte lineare Abbildung betrachtet (sie vertauscht die Koordinaten jedes Vektors, auf den sie angewandt wird, und beschreibt daher eine Spiegelung an der ersten Mediane, d.h. an der Geraden mit der Gleichung $ x_{2}=x_{1} $ ) und auf die neue Basis bezogen, so ist die zugehörige Matrix $ B $ durch
$ B=U^{\top} A U=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $
gegeben. Geometrisch interpretiert besagt dieses Ergebnis, dass die gegebene Spiegelung, wenn sie auf die neue Basis bezogen wird, darin besteht, die erste Koordinate gleichzulassen und die zweite mit -1 zu multiplizieren. Aus der Sicht des "neuen" Beobachters handelt es sich um eine Spiegelung an der $ y_{1} $-Achse.

Dies ist ja im grunde das gleiche wie bei der Aufgabe im $ \mathbb{R}^{3} $

Kommentiert 21 Nov 2022 von OnePlus4T

Dies ist ja im grunde das gleiche wie bei der Aufgabe im $ \mathbb{R}^{3} $

Na ja - nicht ganz. Zunächst einmal ist das

Noch eine Frage müsste man für B herauszufinden nicht noch mit D multiplizieren also
B = D * A * D^-1

nicht das gleiche wie dies:

die Transformationsformel für die Matrizen linearer Abbildungen lautet dann
B = U^T A U.

Die Reihenfolge von Drehung und 'Rück-'Drehung ist vertauscht.
Und dann hatte ich noch übersehen, dass in Deiner Frage:

Finden Sie die Matrix $ B $, die diese Abbildung bezüglich des gedrehten Koordinatensystems.

von einer Abbildung und nicht von einer Transformation die Rede ist. Eigentlich ist das dasselbe, aber ich schrieb ja bereits:

dann unterstelle ich, dass die Abbildung $B={}^{D}T_S$ gesucht ist.

und das ist anscheinend nicht der Fall. Es ist vielmehr eine Abbildung aus dem gedrehten System über $A$ in das gedrehte System gesucht. Also könnte man vielleicht schreiben:$$B = {}^{D'}T_{D}$$Die Matrix $A$ beschreibt die Abbildung im Standardsystem 0. Wenn man bei der Robotik-Notation bleibt*), heißt das $$A = {}^{0'}T_{0}$$dann ergibt sich das $B$ aus Deinem ersten Kommentar rein formal aus$$B = {}^{D'}T_{D} = {}^{D}T_0\cdot {}^{0'}T_{0}\cdot {}^{0}T_D = D^{-1}_3(\pi/3) \cdot A \cdot D_3(\pi/3)\\\phantom{B}= \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{}3& 2\sqrt{3} \\ -\sqrt{3}& 3& 2\\ 2\sqrt{3}& 2& 0\end{pmatrix}$$und ein Punkt ${}^{D}y$ im gedrehten System wird auf einen Punkt ${}^{D'}y$ abgebildet. Zum Beispiel:$${}^{D}y = \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 3\end{pmatrix} \quad {}^{D'}y= B\cdot {}^{D}y \approx \begin{pmatrix}3.165\\ 0.518\\ 3.964\end{pmatrix}$$

oben das Ganze im Bild. Die Spiegelebene bleibt wo sie ist und man betrachtet die Spiegelung ausschließlich in den Koordinaten des gedrehten System $D$.

Es stellt sich immer die Frage: was genau ist denn gesucht bzw. gefragt!
Gruß Werner

*) ich weiß leider nicht genau wie man das in der Abbildungsnotation schreibt.

Kommentiert 21 Nov 2022 von Werner-Salomon

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