Aufgabe:
1. Gegeben ist für eine Populationsentwicklung die Übergangsmatrix
\( U=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0 & 0,6 \\ 10 & 0 & 0\end{array}\right) \).
Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm und stellen Sie für die Startpopulation (50 30 60) die zeitliche Entwicklung bis zum 5. Entwicklungsschritt tabellarisch und durch einen Graphen dar.
2. Die Entwicklung von Zebras in einem Nationalpark wird durch die Matrix
\( U=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0,8 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right) \) beschrieben.
Zu Beginn werden 40 Jungtiere, 20 ausgewachsene Tiere und 25 Alttiere gezählt.
a) Bestimmen Sie für \( a=0,625 \) die Populationsentwicklung für die ersten sechs Zeitschritte und stellen Sie sie grafisch dar. Warum verläuft diese Entwicklung zyklisch? Welche maximale Anzahl von Säugetieren bevölkert den Park?
b) Durch Änderungen der Umweltbedingungen wird a = 0,7. Wie entwickelt sich die Population jetzt langfristig? Welche Population beobachtet man nach sechs Zeitschritten?
c) Der Nationalpark kann maximal 110 Tiere dieser Art aufnehmen. Nach welcher Zeit müssen Maßnahmen zur Eindämmung ergriffen werden.
3. Eine Insektenpopulation entwickelt sich nach folgendem Modell. Ein Insekt legt kurz von seinem Tod so viele Eier, dass sich hieraus im nächsten Jahr 20 Larven entwickeln. \( 10 \% \) dieser Larven überleben das erste Jahr, im zweiten Jahr verpuppen sich \( 50 \% \) der Larven und werden schließlich zum Insekt.
a) Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm und geben Sie die Übergangsmatrix U an. Berechnen Sie \( U^{2} \) und \( U^{3} \). Wie entwickelt sich die Population langfristig?
b) Die Population besteht anfangs aus 400 Larven und je 200 verpuppten Larven und Insekten. Geben Sie an, in welchem Bereich die Anzahl der Insekten schwankt.
c) Ändern Sie die Matrix U so ab, dass eine Verdoppelung jeweils innerhalb von drei Jahren erfolgt.
Problem/Ansatz:
