Aloha :)
Diese Übungsaufgabe ist richtig wichtig!!!
Wenn du das Prinzip dahinter verstehst, kannst du viele Integrale sofort hinschreiben.
Ich schreibe dir die Funktionen mal etwas bunter auf:
$$f(x)=3e^{\pink{2x}}=\frac32\cdot\green2e^{\pink{2x}}$$$$q(x)=3\sqrt{\pink{2x+1}}=\frac32\cdot\green2(\pink{2x+1})^{\frac12}$$$$n(x)=\frac{\green1}{\pink{x-1}}=\green1\cdot\frac{1}{\pink{x-1}}$$$$p(x)=3x\sqrt{\pink{2x^2+1}}=\frac34\cdot\green{4x}(\pink{2x^2+1)}^{\frac12}$$
Erkennst du es schon? Wir machen mal weiter:$$g(x)=\green{(6x+1)}\sin(\pink{3x^2+x+2})$$$$h(x)=2e^{\pink{-\frac12x}}=-4\cdot\green{\left(-\frac12\right)}\cdot e^{\pink{-\frac12x}}$$$$m(x)=\frac{0,5x}{\pink{x^2+2}}=\frac14\cdot\green{2x}\cdot(\pink{x^2+2})^{-1}$$$$\ell(x)=\green{(2x+1)}e^{\pink{x^2+x}}$$
Der grüne Term ist bisher in allen Beispielen die Ableitung vom pinken Term.
Das bleibt leider nicht so:$$k(x)=\cos(\pink{2x+1})=\frac12\cdot\green2\cos(\pink{2x+1})$$$$z(x)=\frac{(3x+2)}{\pink{x^3+2x+1}}\quad\text{hier müsste es im Zähler \(\green{(3x^2+2)}\) heißen!}$$$$m(x)=3x\cdot e^{\pink{2x^2+2}}=\frac34\cdot\green{4x}\cdot e^{\pink{2x^2+2}}$$$$r(x)=\frac{2x-1}{\pink{(x-1)^2}}\quad\text{hier müsste es im Zähler \(\green{2(x-1)}\) bzw. \(\green{2x-2}\) heißen!}$$
Bis auf die Funktionen \(z(x)\) und \(r(x)\) können wir alle Funktionen einer Gruppe zuordnen:
Die \(\green{\text{Ableitung}}\) des \(\pink{\text{Funktionsarguments}}\) taucht als Faktor auf.
Jetzt erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung". Beim Integrieren könnte man umgekehrt formulieren: "Äußeres Integral durch innere Ableitung." Das funktioniert aber nur, wenn nach der Aufteilung in grün und pink keine weitere Abhängigkeit von \(x\) mehr vorliegt. Die grüne innere Ableitung fällt beim Integrieren einfach weg. Du kannst so tun als wäre der ganze pinke Term eine große Variable \(X\), nach der über \(dX\) integriert wird.
$$\int f(x)\,dx=\frac32\cdot e^{\pink{2x}}+\text{const}$$$$\int q(x)\,dx=\frac32\cdot\frac23(\pink{2x+1})^{\frac32}+\text{const}=(\pink{2x+1})^{\frac32}+\text{const}$$$$\int n(x)\,dx=\ln|\pink{x-1}|+\text{const}$$$$\int p(x)\,dx=\frac34\cdot\frac23(\pink{2x^2+1})^{\frac32}+\text{const}=\frac12(\pink{2x^2+1})^{\frac32}+\text{const}$$$$\int g(x)\,dx=-\cos(\pink{3x^2+x+2})+\text{const}$$
Und so weiter... Ich denke, das Prinzip sollte nun verstanden sein?
