Berechnen Sie die letzte Ziffer der Zahl 7^{543} mit der Methode „Quadrieren und Multiplizieren".

Question

Aufgabe:

(b) Berechnen Sie die letzte Ziffer der Zahl \( 7^{543} \) mit der Methode „Quadrieren und Multiplizieren".

Problem/Ansatz:

Den Biärcode hab ich herausgfunden, aber danach komme ich nicht weiter. Kann mir dabei jemand helfen?

Answer 1

7^{543}

= 7^{BIN(10 0001 1111)}

QM M M M M QM QM QM QM QM

Beim Quadrieren und Multiplizieren kannst du jetzt alles gleich Modulo 10 rechnen.

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 9, 3, 9, 3, 9, 3, 9, 3, 9, 3

Die letzte Ziffer sollte also die 3 sein.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4re_Exponentiation

Comments

Also dank dir hab ich es auch ausprobiert und bei mir kommt die Reihenfolge: 7,9,1,1,1,7,3,3,3,3

1^{2}*7 mod 10 = 7

7^{2} mod 10 = 9

9^{2} mod 10 = 1

1^{2} mod 10 = 1

1^{2} mod 10 = 1

1^{2}*7 mod 10 = 7

7^{2}*7 mod 10 = 3

3^{2}*7 mod 10 = 3

3^{2}*7 mod 10 = 3

3^{2}*7 mod 10 = 3

So hab ich mein Ergebniss ausgerechnet. Komme auch auf die drei, aber die Reihenfolge ist bei mir nicht gleich wie bei dir oben

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Wenn wir mit 1 beginnen, dann musst du das erste QM beachten. Wenn du direkt mit 7 beginnst, lässt du das erste QM weg. Es spart also 2 unnütze Rechenschritte. Ansonsten habe ich Quadrieren und Multiplizieren in 2 getrennten Rechnungen statt einer geschrieben. Dadurch habe ich noch ein paar mehr Zwischenergebnisse.

QM M M M M QM QM QM QM QM

7
7 * 7 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3
3 * 7 ≡ 1
1 * 7 ≡ 7
7^2 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3
3^2 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3
3^2 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3
3^2 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3
3^2 ≡ 9
9 * 7 ≡ 3

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Und warum muss ich mit sieben anfangen?

Im voraus aber schonmal dankeschön

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Entweder fängst du mit 1 an und beachtest das erste QM oder du beginnst mit 7 und lässt das erste QM weg.

Mit 7 anfangen, spart also 2 Rechenschritte.

Ich habe das oben nochmals dazu geschrieben.

Es macht aber durchaus Sinn, wie Ihr es gemacht habt, QM direkt, als eine Rechnung zu betrachten und nicht als 2 getrennte Rechnungen.