Es sei a>1. Beweisen Sie, dass für jede nat. Zahl n gilt: a^n >= 1+ n*(a-1).

Question

Aufgabe:

Es sei \( a>1 \). Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

\( a^{n} \geq 1+n \cdot(a-1) \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Verwende den binomischen Lehrsatz und lasse alle Terme für \(k\ge2\) weg:$$a^n=(1+(a-1))^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}(a-1)^k\le\underbrace{\binom{n}{0}1^n(a-1)^0}_{=1}+\underbrace{\binom{n}{1}}_{=n}\underbrace{1^{n-1}}_{=1}(a-1)^1$$Damit ist \(a^n\le1+n(a-1)\).

Answer 2

Sei \(b:=a-1\). Dann ist \(b\geq 0\).

Die Bernoullische Ungleichung liefert

\(a^n=(1+b)^n\geq 1+nb=1+n(a-1)\).