Question

Wie kann man dir Nullstellen  der folgenden Funktion mithilfe der Substitution berechnen? Ich habe schon alles versucht, aber es funktioniert nicht.

f(x)= e^2x -4te^x +3t^2

Nullstellen in Abhängigkeit von t

Comments

Setze y=exp(x) und beachte exp(2x)=y^2...

Answer 1

e^x =z

z^2- 4tz+3t^2 =0

z1/2 = 2t+-√(4t^2-3t^2) = 2t+-t

z1= 3t

z2= t

e^x = 3t

x1= ln(3t) = ln3+lnt

e^x = t

x2= lnt

Answer 2

f(x) = e^(2·x) - 4·t·e^x + 3·t^2 = 0

Subst. e^x = z → x = LN(z)

z^2 - 4·t·z + 3·t^2 = 0

(z - t)·(z - 3·t) = 0

z = t ∨ z = 3·t

x = LN(t) ∨ x = LN(3·t)

Comments

Wie kommt man letztendlich auf ln(t) und ln(3t)? Vielen Dank für den detaillierten Weg

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Du musst nur resubstituieren:

e^x= t bzw. e^x = 3t

Answer 3

Weg ohne Substitution:

\(f(x)= e^{2x} -4*t* e^{x}  +3*t^{2} \)

\( (e^{x} -2*t)^2  =-3*t^{2}+4*t^{2}=t^2|\sqrt{~~} \)

1.)  \( e^{x} -2*t =t \)

\( e^{x} =3t \)

\(x₁=ln(3t)\)

2.)  \( e^{x} -2*t =-t \)
 \( e^{x} =t \)
\(x₂=ln(t)\)