Grenzwert dieser Folge bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert der Folge:

\(\displaystyle a_{n}:=8^{-n}\left(\frac{12}{n}+\frac{6 n+1}{n^{3}}+8\right)^{n} \quad(n \in \mathbb{N}) \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, das ganze in die Form (1 + x/n)^n zu bringen da ich weiß das die e^x wäre. Allerdings scheitere ich am umformen. ich hab bereits mit Polynomdivision soweit wie es geht vereinfacht aber komme nicht darauf. Gibt es einen besseren Ansatz?

Ich würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen.

Answer 1

Hallo

du kannst die 8^-n in die Klammer bringen , dann ist der Hauptteil (1,5/n+1)^n der Rest geht gegen 0 also hast du e^1,5

notfalls musst du  das ganze   in eine Reihe entwickeln um n=oo

lul ,

Comments

Hahaha vielen Dank. Ich weiß nicht ob es an der Müdigkeit lag oder woran sonst aber ich habe das einfach komplett übersehen :/

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"dann ist der Hauptteil (1,5/n+1)n "

Wie genau kommt man dahin?

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Bring 8^-n mal in die Klammer und dann schaust du welchen Summanden du für n->oo gegen 0 gehen lassen kannst um auf die Form (1+ x/n)^n zu kommen. Dies ist dann nichts anderes als e^x.

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Bring 8^-n mal in die Klammer und dann

Das ist mir schon klar und dass, der 1. und 2. Summand gegen Null gehen.

Dann habe ich (0+0+1)^n

Da hakt es bei mir aus.

Bitte ausführlicher! Danke.

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Versuch doch mal nur einen der Summanden schlussendlich auch durch 0 zu ersetzen.

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Das sind aber nach 2 da außer der 1. Warum nur einen und nicht beide?

Diese Logik verstehe ich nicht.

Wie komme ich darauf? Welchen?

Wenn ich schon um die Lösung bitte, dann bitte keine weiteren,

mir nicht helfenden Anregungen.

Ich möchte den ganzen Lösungsweg, wie er in einer

Prüfung erwartet wird.

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Hallo

ich denke in einer Prüfung wird erwartet, dass du genauer selbst denkst und nicht  übersiehst dass 1(n^2 beträchtlich schneller gegen 0 geht als 1/n. du kannst aber auch abschätzen ab welchem n 1/n+1/n^2 sich nur noch um ε unterscheiden.

Und hier Forderungen zu stellen wie "Ich möchte den ganzen Lösungsweg, wie er in einer Prüfung erwartet wird." macht dich irre beliebt!

lul

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aber auch abschätzen ab welchem n 1/n+1/n² sich nur noch um ε unterscheiden.

Bsp. : Für für ε=1/10000 unterscheiden sich 1/n und 1/n^2 ab 9999 um weniger als ε, aber ab n=10000 unterscheiden sich auch 1/n und 0 um weniger als ε.

Ich denke, dass ggT22 verstehen möchte, warum dieser Unterschied zwischen 9999 und 10000 so viel ausmacht.

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Ich möchte es einfach nur sauber aufgeschrieben sehen:

Was ist daran so schwer zu verstehen? Was hast das mit Beliebtheit zu tun?

Ich sehe hier ständig sehr schöne Lösungswege.

Ich fordere zudem nichts, sondern habe darum gebeten.

Wenn ihr nicht wollt, ist mir das auch recht.

Fragen wird man als Helfer wohl noch dürfen?

Ich bin mit dieser Materie nicht so vertraut, sonst würde ich nicht fragen.

Deine Antwort macht dich bei mir auch nicht "irre beliebt".

Ich bin echt enttäuscht.

Ich wollte etwas dazulernen, dann halt nicht.

Vergiss es, entschuldige die Frage.

Das war meine erste und letzte Frage zugleich.

Ich bin restlos bedient in Sachen Kollegialität und

Verständnisbereitschaft.

Andere erklären gern und toll, andere nicht,

Jedem das Seine. Gut zu wissen, woran ich hier

bei einigen bin.

Es gibt noch andere Matheforen.

Da kann ich ja auch nachfragen und muss

mich nicht einmal anmelden.