Warum konvergiert x_{k} und Berechnung des Grenzwerts

Question

a∈R mit a≥0 und x1 ∈R mit x1 >1 beliebiggewählt.

Folge x: N -> R rekursiv definiert durch:

\(\displaystyle x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_{k}+\frac{a}{x_{k}}\right) \).

Man soll zeigen dass (xk)k∈N konvergiert, und den Grenzwert berechnen.

Answer 1

Zeige : Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt.

Für den Grenzwert g gilt dann

g = 0,5 * ( g+a/g)

==>  2g =  g+a/g

==>   g = a/g

==> g^2 = a   ==>  (alles ist positiv !)   g=√a