Zeigen Sie, dass S R-linear ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die reelle Vektorräume V := R[X] _{kleiner gleich 3} der Polynome von Grad kleiner gleich 3 und W := R[X]_{kleiner gleich 4,} zusammen mit der Abbildung:

S: V → W

f ↦ X.f

 

(a) Zeigen Sie, dass S R-linear ist

(b) Finden Sie eine Matrixdarstellung von S bezüglich der Standardbasen {1, X, X².X³} und {1, X, X², X³, X⁴}

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht was genau f ist und wie man diese Aufgabe lösen soll.

Answer 1

S: V → W

f ↦ X.f

Zeige S(f+g)=S(f)+S(g)   und  S( a*f) = a*S(f) für a∈ℝ und f,g ∈ ℝ[x]_≤3

Also z.B. etwa so: S(f+g) = x*(f+g)=x*f+x*g= S(f) + S(g).

Für die Matrix berechne S(1), S(x) , S(x^2 ) , S(x^3 )

und trage die Koeffizienten von 1, X, X^2, X^3, X^4

als Spalten der Matrix ein.

Comments

Ich habe das gesehen. Ich verstehe jetzt, dass f hier nicht eine Funktion, sondern ein Element aus V ist, aber die Abbildung stört mich. Was ich verstehe ist, dass man ein Element f aus V nimmt und dann multipriziert mit ein polynom X.f und das liegt schon in W.

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Ich habe das gesehen. Ich verstehe jetzt, dass f hier nicht eine Funktion, sondern ein Element aus V ist,

Aber die Elemente aus V sind ja Funktionen , nämlich Polynome
höchstens 3. Grades. Und wenn man die mit x multipliziert

(Das schreibt ja die Abbildung vor.)

gibt es Polynome höchstens 4. Grades.

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So um die Linearität zu beweisen, soll ich ein anderer Polynom aus V z.B g hinzufügen, für den f+g = X.(f+g) gilt?

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Du musst ja  S(f+g)=S(f)+S(g)

beweisen . Das wäre die Additivität.

Und S(f+g) ist nach der Def von S  [    f ↦ X.f ]

genau X.(f+g)  . Ich hatte statt . dann * geschrieben.

Entsprechend bei der Homogenität.