Für welche/s k/s sind die drei Vektoren voneinander linear unabhängig?

Question

Ich hätte kurz eine Hilfe bei dieser Aufgabe:

Die Aufgabenstellung steht schon in der Überschrift.

Für welche/s k/s sind die drei Vektoren voneinander linear unabhängig?

Vektor a (k / 2 / 0)

Vektor b (2 / k / 1)

Vektor c (1 / -1 / -1)

Problem/Ansatz:

Durch den Gaußverfahren habe ich diese Gleichungen rausbekommen:

I: kx + 2y + 1z = 0

II: 0x + 0y (-k-2)z = 0

III: 0x + 0y + 3z = 0

Nun ist meine Frage wie kriege ich mein k raus? Die Bedingung für die Unabhängigkeit ist das alle x,y,z = 0 betragen.

Ich kann mir vorstellen dass bei II k = -2 rauskommt. Aber wie rechne ich k in I aus?

Bitte wenn ihr es nochmal berechnet, dann  nach dem Gaußverfahren.

Comments

für welche/s k/s ist der Vektor linear unabhängig?

Jeder der drei Vektoren ist für jedes k linear unabhängig.

---

Aufgabenstellung sollte vermutlich sein.

Für welche/s k/s sind die drei Vektoren voneinander linear unabhängig?

@marco: Ist das so korrekt? Wenn ja: Bitte Überschrift berichtigen.

---

ja es ist richtig. ich bin gerade dabei die Berechnung richtig zu machen, bitte bleib am Ball, ich werde dich noch als "Beste Antwort" markieren

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((k+,+2+,+0)+,+(2+,+k+,+1)++,+(1+,+-1+,+-1))

Ich würde hier die Determinante Null setzen.

0 = -k^2 + k + 6

k^2 - k - 6 = 0

(k-3)(k+2) = 0

k1 = 3

k2 = -2

Für k Element {-2 , 3} sind die Vektoren voneinander linear abhängig. Sonst linear unabhängig.

Deine Gauss-Rechnung müsstest du vollständig und lesbar zeigen, wenn man dort einen Fehler suchen muss. 

Comments

k	2	1
2	k	-1
0	1	-1

Ich habe bei zeile 1 mit -k-2 subtrahiert und mit zeile 2 addiert:

-2	-k	-k-1
2	k	-1

Dadurch ergibt sich:

k	2	1
0	0	-k-2
0	1	-1

Am Ende hab ich Zeile 2 mit 3 vertauscht:

k	2	1
0	1	-1
0	0	-k-2

jetzt hat man die drei Gleichungen. Bei Zeile 3 kann man k ablesen.Es ist dann:

(-k-2)c = 0 → -2.

Aber wie berechnet man das andere k, sodass die Vektoren unabhängig sind?

---

Ich habe bei zeile 1 mit -k-2 subtrahiert und mit zeile 2 addiert:

Das rote darfst du nicht tun.

---

k	2	1
2	k	-1
k	1	-1

Zeile 1  mit Zeile 3 addiert und Zeile 1 mit Zeile 2

k	2	1
2+k	2+k	0
k	3	0

Jetzt hab ich Zeile 2 mit mal 3 Multi. und Zeile 3 mit mal (2+k). Anschließend wurde Zeile 3 mit Zeile 2 subtrahiert:

k	2	1
2+k	2+k	0
k2-k+6	0	0

Jetzt habe ich für Zeile 3 :

(k²-k+6)*c = 0 → Mit pq Formel: k = -2 und k = 3.

Aber das bedeutet dass alle k's gewählt werden können, außer  k=2 und k=3.Es klingt für mich komisch, denn die zwei k's sind dafür zuständig dass die variablen a,b,c  = 0 ergeben bzw. c = 0, oder? Könntest du mir villeicht eine Erklärung geben?

---

Jetzt kommst du zumindest auf die gleichen Werte wie ich. D.h. deine Rechnung könnte so passen. Ich würde das allerdings nicht als "Gauss" bezeichnen.

(k2-k+6)*c = 0 → Mit pq Formel: k = -2 und k = 3.

Aber das bedeutet, dass alle k's gewählt werden können, außer  k=2 und k=3. Es klingt für mich komisch, denn die zwei k's sind dafür zuständig dass die variablen a,b,c  = 0 ergeben bzw. c = 0, oder? Könntest du mir villeicht eine Erklärung geben? 

(k2-k+6)*c = 0 → Mit pq Formel: k = -2 und k = 3.

(k+2)(k-3)*c= 0

Wenn k = -2 oder wenn k = 3 oder wenn c = 0 ist, gibt das Produkt 0. c kann nur dann nicht 0 sein, wenn k = -2 oder k = 3 gilt.

Damit 3 Vektoren linear abhängig sind, müssen sie parallel zur gleichen Ebene sein. D.h. sobald einer der Vektoren aus der Ebene herauszeigt, die von den andern beiden aufgespannt wird, sind die 3 Vektoren linear unabhängig. (Linear abhängig ist daher meist eine viel stärkere Forderung als linear unabhängig)

---

k 2 1
2 k -1
k 1 -1 k passt nicht zur Fragestellung. Dort war es 1. 

Zeile 1  mit Zeile 3 addiert und Zeile 1 mit Zeile 2
k 2 1
2+k 2+k 0
2k 3 0  oder vielleicht k+1
Jetzt hab ich Zeile 2 mit mal 3 Multi. und Zeile 3 mit mal (2+k).

besser nochmals kontrollieren. 

Answer 2

Mal ohne Gauß:

Ein Vektor muss sich als Linearkombination der anderen beiden Darstellen lassen:

Der Ansatz: r·a+s·b=c führt zu den Gleichungen

(1) kr+2s=1

(2) 2r-k=-1

(3) s=-1

(3) in (2) eingesetzt ergibt (4) k=2r+1 und (4) in (1) eingesetzt führt auf eine quadratische Gleichung für r mit den Lösungen r₁=-1 und r₂=3/2.  

Comments

Ich habe andere Zahlen, oder (?).

---

Ja, bei mir wäre k₁=-1 und k₂=4. Aber ich garantere für nichts.