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Aufgabe:

Für welche α,βR \alpha, \beta \in \mathrm{R} sind (α01),(0α2),(32β) \left(\begin{array}{l}\alpha \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ \alpha \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ \beta\end{array}\right) linear unabhängig?

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Rechne doch erstmal aus wann die Vektoren linear abhängig sind. Und dann kannst du auch sagen, wann sie es nicht sind.

1 Antwort

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Hi,
man muss Werte für α \alpha und β \beta finden, s.d. die Gleichung
(1)λ1(α01)+λ2(0α2)+λ3(32β)=0 (1) \quad \lambda_1 \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ \beta \end{pmatrix} = 0 nur für λ1=λ2=λ3=0 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 gilt.
Mit
A=(α030α212β) A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 3 \\ 0 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & \beta \end{pmatrix}
ist (1) äquivalent mit
(2)A(λ1λ2λ3)=0 (2) \quad A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\\lambda_2\\\lambda_3 \end{pmatrix} = 0
(2) hat nur dann die triviale Lösung, wenn det(A)0 det(A) \ne 0 gilt. Es gilt
det(A)=α(βα7) det(A) = \alpha \cdot ( \beta \cdot \alpha -7)
D.h. es gilt det(A)0 det(A) \ne 0   nur für α0 \alpha \ne 0 und β7α \beta \ne \frac{7}{\alpha}

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