Aufgabe:
Für welche α,β∈R \alpha, \beta \in \mathrm{R} α,β∈R sind (α01),(0α2),(32β) \left(\begin{array}{l}\alpha \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ \alpha \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ \beta\end{array}\right) ⎝⎛α01⎠⎞,⎝⎛0α2⎠⎞,⎝⎛32β⎠⎞ linear unabhängig?
Rechne doch erstmal aus wann die Vektoren linear abhängig sind. Und dann kannst du auch sagen, wann sie es nicht sind.
Hi,man muss Werte für α \alpha α und β \beta β finden, s.d. die Gleichung(1)λ1(α01)+λ2(0α2)+λ3(32β)=0 (1) \quad \lambda_1 \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ \beta \end{pmatrix} = 0 (1)λ1⎝⎛α01⎠⎞+λ2⎝⎛0α2⎠⎞+λ3⎝⎛32β⎠⎞=0 nur für λ1=λ2=λ3=0 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 λ1=λ2=λ3=0 gilt.MitA=(α030α212β) A = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 3 \\ 0 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & \beta \end{pmatrix} A=⎝⎛α010α232β⎠⎞ist (1) äquivalent mit(2)A(λ1λ2λ3)=0 (2) \quad A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\\lambda_2\\\lambda_3 \end{pmatrix} = 0 (2)A⎝⎛λ1λ2λ3⎠⎞=0(2) hat nur dann die triviale Lösung, wenn det(A)≠0 det(A) \ne 0 det(A)=0 gilt. Es gilt det(A)=α⋅(β⋅α−7) det(A) = \alpha \cdot ( \beta \cdot \alpha -7) det(A)=α⋅(β⋅α−7)D.h. es gilt det(A)≠0 det(A) \ne 0 det(A)=0 nur für α≠0 \alpha \ne 0 α=0 und β≠7α \beta \ne \frac{7}{\alpha} β=α7
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