Für welche α, β ∈ ℝ sind die Vektoren linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Für welche \( \alpha, \beta \in \mathrm{R} \) sind \( \left(\begin{array}{l}\alpha \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ \alpha \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ \beta\end{array}\right) \) linear unabhängig?

Comments

Rechne doch erstmal aus wann die Vektoren linear abhängig sind. Und dann kannst du auch sagen, wann sie es nicht sind.

Answer 1

Hi,
man muss Werte für \( \alpha \) und \( \beta \) finden, s.d. die Gleichung
$$  (1) \quad \lambda_1 \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ \beta \end{pmatrix} = 0 $$ nur für \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \) gilt.
Mit
$$  A = \begin{pmatrix}  \alpha & 0 & 3 \\ 0 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & \beta \end{pmatrix} $$
ist (1) äquivalent mit
$$  (2) \quad A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\\lambda_2\\\lambda_3 \end{pmatrix} = 0 $$
(2) hat nur dann die triviale Lösung, wenn \( det(A) \ne 0 \) gilt. Es gilt
$$ det(A) = \alpha \cdot ( \beta \cdot \alpha -7)  $$
D.h. es gilt \( det(A) \ne 0 \)  nur für \( \alpha \ne 0 \) und \( \beta \ne \frac{7}{\alpha} \)